Чтобы найти сложную производную функции f(x) = ln(x) * cos(2x),мы будем использовать правило произведения и правило цепочки. Давайте разберем шаги решения:

1. Определим компоненты функции:
   • u(x) = ln(x)
   • v(x) = cos(2x)
2. Найдём производные u(x) и v(x):
   • Производная u(x):

     u'(x) = 1/x

   • Производная v(x):

     Чтобы найти v'(x),используем правило цепочки. Сначала найдем производную cos(2x):

     v'(x) = -sin(2x) * 2 = -2sin(2x)

3. Применим правило произведения:

   Производная функции f(x) будет равна:

   f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

4. Подставим найденные производные:

   Теперь подставим u(x),u'(x),v(x) и v'(x) в формулу:

   f'(x) = (1/x) * cos(2x) + ln(x) * (-2sin(2x))

5. Упростим выражение:

   Итак, окончательная форма производной будет:

   f'(x) = (cos(2x)/x) - 2ln(x)sin(2x)

Таким образом, мы нашли производную функции f(x) = ln(x) * cos(2x). Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!