Как решить дифференциальное уравнение: x(y-5)dx=dy?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения математика 12 класс интегрирование метод подстановки Новый

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, начнем с его преобразования. Уравнение выглядит следующим образом:

x(y - 5)dx = dy

Теперь мы можем переписать его в более удобной форме, разделив переменные. Для этого перенесем все члены, содержащие y, в одну сторону, а все члены, содержащие x, - в другую сторону:

dy = x(y - 5)dx

Теперь разделим переменные:

dy/(y - 5) = xdx

Теперь обе стороны уравнения можно проинтегрировать. Начнем с левой стороны:

• Интеграл от dy/(y - 5) равен ln|y - 5|.

Теперь проинтегрируем правую сторону:

• Интеграл от xdx равен (1/2)x^2.

Таким образом, после интегрирования мы получаем:

ln|y - 5| = (1/2)x^2 + C

где C - произвольная константа интегрирования.

Теперь мы можем выразить y через x. Для этого возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения:

|y - 5| = e^((1/2)x^2 + C)

Так как e^C - это также произвольная константа, мы можем обозначить ее как K:

|y - 5| = Ke^((1/2)x^2)

Теперь уберем модуль, учитывая, что K может быть как положительным, так и отрицательным:

y - 5 = ±Ke^((1/2)x^2)

В итоге, мы получаем общее решение:

y = 5 ± Ke^((1/2)x^2)

Таким образом, мы нашли общее решение данного дифференциального уравнения.