Как решить уравнение:

(3x-2) dy + (7y + 5) dx = 0?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения решение уравнения математические уравнения Дифференциальные уравнения уравнения с переменными математика 12 класс Новый

Для решения данного уравнения (3x-2) dy + (7y + 5) dx = 0, мы можем начать с его преобразования в более удобный вид. Давайте перепишем его, чтобы изолировать dy и dx. Мы можем разделить обе части уравнения на (7y + 5) и затем выразить dy через dx:

1. Переписываем уравнение:
2. (3x - 2) dy = - (7y + 5) dx
3. Теперь делим обе части на (7y + 5):
4. dy = -((7y + 5) / (3x - 2)) dx

Теперь мы видим, что это уравнение можно решить методом разделения переменных. Мы можем выразить dy и dx отдельно:

1. Переписываем уравнение в виде:
2. dy / (7y + 5) = -dx / (3x - 2)

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

1. Интегрируем левую сторону:
2. ∫ (1 / (7y + 5)) dy = (1/7) ln |7y + 5| + C1
3. Интегрируем правую сторону:
4. ∫ (-1 / (3x - 2)) dx = -(1/3) ln |3x - 2| + C2

Теперь мы можем записать общее решение уравнения:

(1/7) ln |7y + 5| = -(1/3) ln |3x - 2| + C

Где C = C2 - C1 - это произвольная константа интегрирования.

Если необходимо, можно умножить обе стороны на 21, чтобы избавиться от дробей:

3 ln |7y + 5| + 7 ln |3x - 2| = C'

Где C' = 21C - это также произвольная константа. Таким образом, мы получили общее решение данного уравнения.