Для решения уравнения второго порядка вида y'' + y' + y = 2x^2 + 2x + 2, мы будем использовать метод вариации постоянных. Это решение состоит из двух частей: однородного и частного решения.

Сначала решим однородное уравнение, которое выглядит так:

y'' + y' + y = 0.

Для этого найдем характеристическое уравнение:

r^2 + r + 1 = 0.

Теперь найдем его корни с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*1 = 1 - 4 = -3.

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными:

• r1,2 = (-1 ± √(-3))/2 = -1/2 ± √3/2 * i.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = e^(-1/2 * x) * (C1 * cos(√3/2 * x) + C2 * sin(√3/2 * x)),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь мы ищем частное решение y_p для уравнения:

y'' + y' + y = 2x^2 + 2x + 2.

Поскольку правая часть уравнения является полиномом второй степени, мы можем предположить, что частное решение также будет полиномом второй степени:

y_p = Ax^2 + Bx + C,

где A, B и C - некоторые постоянные, которые мы определим.

Теперь найдем производные y_p:

• y_p' = 2Ax + B,
• y_p'' = 2A.

Подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение:

2A + (2Ax + B) + (Ax^2 + Bx + C) = 2x^2 + 2x + 2.

Теперь упростим это уравнение:

• (A)x^2 + (2A + B)x + (2A + B + C) = 2x^2 + 2x + 2.

Теперь сравним коэффициенты при x^2, x и свободном члене:

• A = 2,
• 2A + B = 2,
• 2A + B + C = 2.

Теперь подставим A = 2 в остальные уравнения:

• 2(2) + B = 2 → 4 + B = 2 → B = -2,
• 2(2) - 2 + C = 2 → 4 - 2 + C = 2 → C = 0.

Таким образом, частное решение будет:

y_p = 2x^2 - 2x.

Теперь мы можем записать общее решение уравнения как сумму однородного и частного решений:

y = y_h + y_p = e^(-1/2 * x) * (C1 * cos(√3/2 * x) + C2 * sin(√3/2 * x)) + 2x^2 - 2x.

Таким образом, мы нашли общее решение данного дифференциального уравнения.