Какое общее решение можно найти для дифференциального уравнения y''=3-4y'/x?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение общее решение y''=3-4y'/x математика 12 класс решение уравнения Новый

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения y'' = 3 - 4y'/x, давайте сначала проанализируем его структуру и попробуем упростить.

Шаг 1: Замена переменных

Мы можем сделать замену переменной, чтобы упростить уравнение. Обозначим y' = p, тогда y'' = p'. Таким образом, уравнение можно переписать как:

p' = 3 - 4p/x.

Шаг 2: Приведение к стандартному виду

Теперь мы имеем первое дифференциальное уравнение первого порядка:

p' + (4/x)p = 3.

Это уравнение имеет вид:

p' + P(x)p = Q(x),

где P(x) = 4/x и Q(x) = 3.

Шаг 3: Нахождение интегрирующего множителя

Чтобы решить это уравнение, найдем интегрирующий множитель μ(x):

• μ(x) = e^(∫P(x)dx) = e^(∫(4/x)dx) = e^(4ln|x|) = |x|^4.

Таким образом, интегрирующий множитель равен x^4.

Шаг 4: Умножение на интегрирующий множитель

Умножим всё уравнение на x^4:

x^4p' + 4x^3p = 3x^4.

Шаг 5: Применение правила производной

Теперь заметим, что левая часть уравнения является производной:

(x^4p)' = 3x^4.

Шаг 6: Интегрирование

Интегрируем обе стороны:

• ∫(x^4p)'dx = ∫3x^4dx.

Левая часть даст x^4p, а правая часть:

• ∫3x^4dx = (3/5)x^5 + C, где C - константа интегрирования.

Шаг 7: Решение для p

Таким образом, у нас получается:

x^4p = (3/5)x^5 + C.

Разделим на x^4:

p = (3/5)x + C/x^4.

Шаг 8: Возвращение к y

Теперь, поскольку p = y', мы можем найти y:

y' = (3/5)x + C/x^4.

Интегрируем y':

• y = ∫((3/5)x + C/x^4)dx.

Интегрируя, получаем:

• y = (3/10)x^2 - (C/3)x^(-3) + D, где D - еще одна константа интегрирования.

Общее решение: Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y = (3/10)x^2 - (C/3)x^(-3) + D.

Где C и D - произвольные константы.