Какое сингулярное решение дифференциального уравнения xy'-3x³y=0 можно определить, если оно выполняет условие y(0)=-2?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения сингулярное решение Дифференциальное уравнение xy'-3x³y=0 условие y(0)=-2 математика 12 класс Новый

Для начала давайте рассмотрим данное дифференциальное уравнение:

xy' - 3x³y = 0

Это уравнение можно переписать в более удобной форме. Переносим второй член на правую сторону:

xy' = 3x³y

Теперь разделим обе стороны на x (при условии, что x не равно 0):

y' = 3x²y

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Мы можем разделить переменные следующим образом:

dy/y = 3x²dx

Теперь интегрируем обе стороны:

1. Слева: ∫(1/y) dy = ln|y| + C₁
2. Справа: ∫3x² dx = x³ + C₂

Соберем все вместе:

ln|y| = x³ + C

Теперь возведем обе стороны в степень, чтобы избавиться от логарифма:

|y| = e^(x³ + C) = e^C * e^(x³)

Обозначим K = e^C (где K - произвольная положительная константа):

y = K * e^(x³)

Теперь у нас есть общее решение уравнения. Однако, нам нужно найти сингулярное решение, которое удовлетворяет условию y(0) = -2.

Подставим x = 0 в общее решение:

y(0) = K * e^(0) = K

Таким образом, K = -2 для выполнения условия y(0) = -2. Теперь мы можем записать сингулярное решение:

y = -2 * e^(x³)

Таким образом, сингулярное решение данного дифференциального уравнения, которое удовлетворяет условию y(0) = -2, равно:

y = -2 * e^(x³)