Можете помочь решить интеграл: ∫ sin^4(2x) * cos(2x) dx?

Математика Колледж Неопределенные интегралы интеграл интегрирование sin^4(2x) cos(2X) математика решение интеграла Новый

Конечно, давайте решим интеграл ∫ sin^4(2x) * cos(2x) dx пошагово.

Для начала, заметим, что в нашем интеграле присутствует производная функции sin(2x), поскольку производная sin(2x) равна 2cos(2x). Это подсказывает нам, что мы можем использовать метод подстановки.

Давайте сделаем подстановку:

• u = sin(2x)
• Тогда du = 2cos(2x) dx, что означает, что dx = du / (2cos(2x)).

Теперь выразим cos(2x) через u:

• Из тригонометрической идентичности sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 мы можем записать cos(2x) = √(1 - sin^2(2x)) = √(1 - u^2).

Теперь подставим все в интеграл:

• Интеграл становится:
• ∫ sin^4(2x) * cos(2x) dx = ∫ u^4 * (1/2) * du = (1/2) ∫ u^4 du

Теперь решим интеграл ∫ u^4 du:

• Интеграл ∫ u^n du = (u^(n+1))/(n+1) + C, где C - константа интегрирования.
• В нашем случае n = 4, поэтому:
• ∫ u^4 du = (u^5)/5 + C

Теперь подставим обратно u = sin(2x):

• Получаем:
• (1/2) * (sin^5(2x)/5) + C = (1/10) * sin^5(2x) + C

Таким образом, окончательный ответ на интеграл ∫ sin^4(2x) * cos(2x) dx будет:

(1/10) * sin^5(2x) + C