Помогите срочно, найдите общее решение дифференциального уравнения y'' + 3y' = 9x^2 + 3x + 5.

Математика Колледж Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение общее решение математика y'' + 3y' = 9x^2 + 3x + 5 решение уравнения Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, начнем с его общего вида:

y'' + 3y' = 9x^2 + 3x + 5.

Это уравнение состоит из двух частей: однородной и неоднородной. Сначала найдем общее решение однородной части.

1. Найдем общее решение однородного уравнения:

Однородное уравнение выглядит так:

y'' + 3y' = 0.

Чтобы решить его, найдем характеристическое уравнение:

r^2 + 3r = 0.

Факторизуем:

r(r + 3) = 0.

Таким образом, у нас есть два корня:

• r1 = 0
• r2 = -3

Общее решение однородного уравнения будет:

y_h = C1 + C2 * e^(-3x),

где C1 и C2 - произвольные константы.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения:

Теперь перейдем к неоднородной части:

9x^2 + 3x + 5.

Попробуем найти частное решение в виде многочлена второго порядка:

y_p = Ax^2 + Bx + C.

Теперь найдем производные:

• y_p' = 2Ax + B
• y_p'' = 2A

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

2A + 3(2Ax + B) = 9x^2 + 3x + 5.

Раскроем скобки:

2A + 6Ax + 3B = 9x^2 + 3x + 5.

Сравниваем коэффициенты:

• Для x^2: 0 = 9 (коэффициент при x^2 равен 0, так как у нас его нет в левой части)
• Для x: 6A = 3 (сравниваем коэффициенты при x)
• Для свободного члена: 2A + 3B = 5 (сравниваем свободные члены)

Решим систему уравнений:

6A = 3 ⇒ A = 1/2.

Теперь подставим A в третье уравнение:

2(1/2) + 3B = 5 ⇒ 1 + 3B = 5 ⇒ 3B = 4 ⇒ B = 4/3.

Теперь подставим A в первое уравнение (так как оно не дало значения для C, мы можем взять его равным 0):

C = 0.

Таким образом, частное решение имеет вид:

y_p = (1/2)x^2 + (4/3)x.

3. Общее решение уравнения:

Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения, складывая общее решение однородной части и частное решение:

y = y_h + y_p = C1 + C2 * e^(-3x) + (1/2)x^2 + (4/3)x.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.