Вычислить неопределённый интеграл:

∫ (1 / (sin(x) * cos(x))) dx

С подробным решением.

Математика Колледж Неопределенные интегралы неопределенный интеграл интеграл sin(x) cos(x) решение интеграла математика 12 класс вычисление интеграла Новый

Чтобы вычислить неопределённый интеграл ∫ (1 / (sin(x) * cos(x))) dx, начнем с того, что у нас есть дробь, которая можно упростить. Мы можем выразить интеграл через известные функции. Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Заметим, что произведение sin(x) * cos(x) можно переписать с помощью формулы:

• sin(x) * cos(x) = (1/2) * sin(2x).

Таким образом, мы можем переписать наш интеграл:

∫ (1 / (sin(x) * cos(x))) dx = ∫ (2 / sin(2x)) dx.

Теперь интеграл принимает вид:

∫ (2 / sin(2x)) dx.

Мы знаем, что 1/sin(2x) = csc(2x). Поэтому интеграл можно записать как:

∫ (2 * csc(2x)) dx.

Для вычисления интеграла ∫ csc(kx) dx, где k - константа, используем известную формулу:

• ∫ csc(kx) dx = - (1/k) * ln |csc(kx) + cot(kx)| + C.

В нашем случае k = 2, поэтому:

∫ csc(2x) dx = - (1/2) * ln |csc(2x) + cot(2x)| + C.

Теперь подставим это в наш интеграл:

∫ (2 * csc(2x)) dx = 2 * (- (1/2) * ln |csc(2x) + cot(2x)|) + C.

Упрощаем выражение:

= - ln |csc(2x) + cot(2x)| + C.

Таким образом, окончательный ответ для неопределённого интеграла:

∫ (1 / (sin(x) * cos(x))) dx = - ln |csc(2x) + cot(2x)| + C.