Вычислите интеграл:

∫(sin x - cos x)sin x(sin x + cos x) dx

Математика Колледж Неопределенные интегралы интеграл вычисление интеграла математика 12 класс синус косинус интегралы математический анализ Новый

Для вычисления интеграла ∫(sin x - cos x)sin x(sin x + cos x) dx, начнем с упрощения выражения внутри интеграла.

Рассмотрим выражение (sin x - cos x)sin x(sin x + cos x). Мы можем сначала раскрыть скобки:

• (sin x - cos x)(sin x + cos x) = sin^2 x - cos^2 x (по формуле разности квадратов).

Теперь подставим это обратно в интеграл:

Итак, у нас есть:

∫(sin^2 x - cos^2 x)sin x dx.

Теперь давайте раскроем интеграл:

∫(sin^3 x - cos^2 x sin x) dx.

Теперь мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла:

∫sin^3 x dx - ∫cos^2 x sin x dx.

Теперь вычислим каждый из этих интегралов по отдельности.

1. Вычисление ∫sin^3 x dx:

Мы можем использовать формулу для интегрирования sin^n x:

• ∫sin^n x dx = -1/n * sin^(n-1) x * cos x + (n-1)/n * ∫sin^(n-2) x dx.

Подставляя n = 3, получаем:

∫sin^3 x dx = -1/3 * sin^2 x * cos x + 2/3 * ∫sin x dx.

Зная, что ∫sin x dx = -cos x, мы получаем:

∫sin^3 x dx = -1/3 * sin^2 x * cos x - 2/3 * cos x + C.

2. Вычисление ∫cos^2 x sin x dx:

Для этого интеграла мы можем использовать замену переменной. Пусть u = cos x, тогда du = -sin x dx. Поменяем пределы интегрирования:

∫cos^2 x sin x dx = -∫u^2 du = -1/3 * u^3 + C = -1/3 * cos^3 x + C.

Теперь подставим оба результата обратно в исходный интеграл:

∫(sin x - cos x)sin x(sin x + cos x) dx = (-1/3 * sin^2 x * cos x - 2/3 * cos x) + (1/3 * cos^3 x) + C.

Таким образом, окончательный ответ будет:

∫(sin x - cos x)sin x(sin x + cos x) dx = -1/3 * sin^2 x * cos x - 2/3 * cos x + 1/3 * cos^3 x + C.