Тема: Линейная функция и её график

Цель урока: изучить понятие линейной функции, научиться строить её график и анализировать свойства.

Задачи урока:

• дать определение линейной функции;
• рассмотреть её свойства и график;
• научиться строить график линейной функции по двум точкам;
• определить, как анализировать свойства линейной функции.

План урока:

1. Понятие линейной функции и её общий вид.
2. Свойства линейной функции: область определения, область значений, нули функции, промежутки знакопостоянства.
3. График линейной функции — прямая линия.
4. Построение графика линейной функции с использованием двух точек.
5. Анализ свойств линейной функции на основе её графика.

1. Понятие линейной функцииЛинейная функция — это функция, которую можно задать формулой вида у = kx + b, где k и b — некоторые числа.

Число k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то график функции возрастает, а если k < 0 — убывает.

Коэффициент b показывает, в какой точке график пересекает ось ординат (y).

Например, если у = 2х + 3, то коэффициент k = 2, а b = 3.

График линейной функции представляет собой прямую линию.

Рассмотрим свойства линейной функции подробнее.

2. Свойства линейной функции

• Область определения:Линейная функция определена для всех действительных чисел. Это означает, что область определения линейной функции включает все числа от -∞ до +∞.

• Область значений:Область значений линейной функции также зависит от коэффициента k. Если k ≠ 0, то область значений функции будет состоять из всех чисел от -∞ до +∞, так как график функции будет проходить через начало координат.

Если k = 0, то графиком функции будет прямая, параллельная оси Оу. В этом случае область значений функции состоит из одного числа — b.

• Нули функции:Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю. Чтобы найти нули линейной функции у = kx + b, нужно решить уравнение kx + b = 0.

Например, для функции у = 5х - 1, нулями будут числа: 1/5 и -1.

• Промежутки знакопостоянства:Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.

Чтобы определить промежутки знакопостоянства линейной функции, нужно найти точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Для этого нужно решить уравнение: kx + b = 0 или у = 0:

• Если k > 0, то функция возрастает и принимает только положительные значения. Следовательно, промежуток знакопостоянства функции будет (-∞; +∞).
• Если k < 0, то функция убывает и принимает только отрицательные значения или равна нулю. Следовательно, промежутки знакопостоянства будут (-∞; 0) и (0; +∞).

Важно отметить, что если k = 0, функция будет принимать только нулевые значения, и промежутки знакопостоянства будут отсутствовать.

3. График линейной функцииГрафик линейной функции представляет собой прямую линию, которая может быть расположена в различных направлениях в зависимости от значения углового коэффициента k:

• если k > 0, график будет возрастать;
• если k < 0, график будет убывать.

4. Построение графика линейной функцииДля построения графика линейной функции необходимо знать координаты двух точек, через которые проходит график.

Пусть у = kx + b. Тогда график функции будет проходить через точки (0; b) и (1; k + b).

Таким образом, чтобы построить график линейной функции, достаточно найти координаты этих двух точек и соединить их прямой линией.

Пример:Построить график функции у = -2х + 4.Решение:

• Найдём точки, через которые будет проходить график:
  • (0; 4) — первая точка;
  • (1; -2 + 4) или (1; 2) — вторая точка.

• Построим эти точки на координатной плоскости и соединим их прямой линией:	4
  2
  ____

Полученный график представляет собой прямую, проходящую через точки (0; 4) и (1; 2).

5. Анализ свойств линейной функцииАнализ свойств линейной функции можно провести на основе её графика:

• Область определения функции — все действительные числа.
• Область значений функции — все числа от -∞ до +∞, если k ≠ 0. Если k = 0, область значений функции равна b.
• Нули функции: для функции у = kx + b нулями будут значения х, при которых kx + b = 0. Для их нахождения нужно решить уравнение.
• Промежутки знакопостоянства: для определения промежутков знакопостоянства нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ (или ОУ). Для этого нужно решить уравнения: kx + b = 0 (для определения точек пересечения с осью Ох) или у = 0 (с осью ОУ).

В заключение можно сказать, что линейная функция является одной из самых простых и наиболее изученных функций в математике. Её свойства и график легко понять и проанализировать.

Вопросы для закрепления материала:

1. Что такое линейная функция?
2. Какой общий вид линейной функции?
3. Как определить область определения и область значений линейной функции?
4. Что такое нули функции? Как найти нули линейной функции?
5. Что такое промежутки знакопостоянства? Как определить промежутки знакопостоянства линейной функции?
6. Как построить график линейной функции?
7. Как провести анализ свойств линейной функции на основе её графика?

Примеры задач для самостоятельного решения:

1. Построить график функции: у = х - 2.
2. Найти нули функции: у = 3х + 5.
3. Определить промежутки знакопостоянства функции: у = -х + 10.
4. Провести анализ свойств функции: у = x + 1.