Похожие темы
Линейная функция и её график
Тема: Линейная функция и её график
Цель урока: изучить понятие линейной функции, научиться строить её график и анализировать свойства.
Задачи урока:
- дать определение линейной функции;
- рассмотреть её свойства и график;
- научиться строить график линейной функции по двум точкам;
- определить, как анализировать свойства линейной функции.
План урока:
- Понятие линейной функции и её общий вид.
- Свойства линейной функции: область определения, область значений, нули функции, промежутки знакопостоянства.
- График линейной функции — прямая линия.
- Построение графика линейной функции с использованием двух точек.
- Анализ свойств линейной функции на основе её графика.
1. Понятие линейной функцииЛинейная функция — это функция, которую можно задать формулой вида у = kx + b, где k и b — некоторые числа.
Число k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то график функции возрастает, а если k < 0 — убывает.
Коэффициент b показывает, в какой точке график пересекает ось ординат (y).
Например, если у = 2х + 3, то коэффициент k = 2, а b = 3.
График линейной функции представляет собой прямую линию.
Рассмотрим свойства линейной функции подробнее.
2. Свойства линейной функции
Область определения:Линейная функция определена для всех действительных чисел. Это означает, что область определения линейной функции включает все числа от -∞ до +∞.
Область значений:Область значений линейной функции также зависит от коэффициента k. Если k ≠ 0, то область значений функции будет состоять из всех чисел от -∞ до +∞, так как график функции будет проходить через начало координат.
Если k = 0, то графиком функции будет прямая, параллельная оси Оу. В этом случае область значений функции состоит из одного числа — b.
- Нули функции:Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю. Чтобы найти нули линейной функции у = kx + b, нужно решить уравнение kx + b = 0.
Например, для функции у = 5х - 1, нулями будут числа: 1/5 и -1.
- Промежутки знакопостоянства:Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
Чтобы определить промежутки знакопостоянства линейной функции, нужно найти точки пересечения графика функции с осью ОХ.
Для этого нужно решить уравнение: kx + b = 0 или у = 0:
- Если k > 0, то функция возрастает и принимает только положительные значения. Следовательно, промежуток знакопостоянства функции будет (-∞; +∞).
- Если k < 0, то функция убывает и принимает только отрицательные значения или равна нулю. Следовательно, промежутки знакопостоянства будут (-∞; 0) и (0; +∞).
Важно отметить, что если k = 0, функция будет принимать только нулевые значения, и промежутки знакопостоянства будут отсутствовать.
3. График линейной функцииГрафик линейной функции представляет собой прямую линию, которая может быть расположена в различных направлениях в зависимости от значения углового коэффициента k:
- если k > 0, график будет возрастать;
- если k < 0, график будет убывать.
| Пример графика линейной функции при k > 0 и k < 0: | k > 0 | k < 0 |
|---|---|---|
4. Построение графика линейной функцииДля построения графика линейной функции необходимо знать координаты двух точек, через которые проходит график.
Пусть у = kx + b. Тогда график функции будет проходить через точки (0; b) и (1; k + b).
Таким образом, чтобы построить график линейной функции, достаточно найти координаты этих двух точек и соединить их прямой линией.
Пример:Построить график функции у = -2х + 4.Решение:
- Найдём точки, через которые будет проходить график:
- (0; 4) — первая точка;
- (1; -2 + 4) или (1; 2) — вторая точка.
Построим эти точки на координатной плоскости и соединим их прямой линией: 4 2 ____
Полученный график представляет собой прямую, проходящую через точки (0; 4) и (1; 2).
5. Анализ свойств линейной функцииАнализ свойств линейной функции можно провести на основе её графика:
- Область определения функции — все действительные числа.
- Область значений функции — все числа от -∞ до +∞, если k ≠ 0. Если k = 0, область значений функции равна b.
- Нули функции: для функции у = kx + b нулями будут значения х, при которых kx + b = 0. Для их нахождения нужно решить уравнение.
- Промежутки знакопостоянства: для определения промежутков знакопостоянства нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ (или ОУ). Для этого нужно решить уравнения: kx + b = 0 (для определения точек пересечения с осью Ох) или у = 0 (с осью ОУ).
В заключение можно сказать, что линейная функция является одной из самых простых и наиболее изученных функций в математике. Её свойства и график легко понять и проанализировать.
Вопросы для закрепления материала:
- Что такое линейная функция?
- Какой общий вид линейной функции?
- Как определить область определения и область значений линейной функции?
- Что такое нули функции? Как найти нули линейной функции?
- Что такое промежутки знакопостоянства? Как определить промежутки знакопостоянства линейной функции?
- Как построить график линейной функции?
- Как провести анализ свойств линейной функции на основе её графика?
Примеры задач для самостоятельного решения:
- Построить график функции: у = х - 2.
- Найти нули функции: у = 3х + 5.
- Определить промежутки знакопостоянства функции: у = -х + 10.
- Провести анализ свойств функции: у = x + 1.
