Функция и её свойства

Определение функции

Функция — это зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует единственное значение зависимой переменной (функции).

Например, функция f(x) = x² — это квадратичная функция, которая каждому значению x ставит в соответствие значение f(x), равное квадрату x.

Способы задания функции

1. Аналитический способ: функция задаётся с помощью формулы. Например, y = 2x + 3.
2. Табличный способ: функция задана в виде таблицы, в которой указаны значения аргумента и соответствующие им значения функции.
3. Графический способ: функция задана с помощью графика.
4. Словесный способ: функция описывается словами. Например, функция, заданная с помощью уравнения x² + y² = r², где r — постоянная величина, называется функцией окружности.

Область определения и область значений функцииОбласть определения функции — это множество значений аргумента, для которых функция определена.Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция.Например, область определения функции f(x) = √x — это множество неотрицательных чисел, а область значений — множество неотрицательных действительных чисел.

Свойства функцийСвойства функций позволяют определить характер поведения функции и её особенности. Рассмотрим основные свойства функций.

1. Монотонность: функция может быть возрастающей, убывающей или постоянной.Пример: функция f(x) = 5x — возрастающая, так как с увеличением аргумента значение функции увеличивается. Функция g(x) = −x² — убывающая, так как при увеличении аргумента значение функции уменьшается.
2. Ограниченность: функция может быть ограничена сверху или снизу.Пример: функция ƒ(х) = 1/x ограничена снизу, но не ограничена сверху.
3. Чётность и нечётность: функция может быть чётной, нечётной или ни чётной, ни нечётной.Пример: функция g(x) = x² является чётной, так как g(−x) = (−x)² = x². Функция h(x) = х³ является нечётной, так как h(−x) = (−x)³ = −х³.
4. Периодичность: функция может иметь период или не иметь его.Пример: функция sin(x) имеет период 2π, так как sin(x + 2π) = sin(x).
5. Нули функции: значения аргумента, при которых функция равна нулю.Пример: у функции f(x) = (x − 3)(x + 1)(x − 4) три нуля: x = 3, x = −1, x = 4.
6. Промежутки знакопостоянства: интервалы, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения.Пример: на промежутке (−∞; 0) функция f(x) = −2x принимает отрицательные значения, а на промежутке (0; +∞) — положительные.
7. Экстремумы: точки, в которых функция достигает максимума или минимума.Пример: для функции ƒ(x) = x² − x экстремум находится в точке 0,5.
8. Промежутки монотонности: интервалы возрастания и убывания функции.Пример: в промежутке (−2; 0] функция f(x) = x³ убывает, а в промежутке [0; 2) — возрастает.
9. Точки перегиба: точки, где меняется направление выпуклости графика функции.Пример: график функции f(x) = x⁴ имеет точку перегиба в начале координат.

Эти свойства помогают анализировать функции и применять их в различных областях. Они также используются при решении уравнений и неравенств, построении графиков функций и других математических задач.

Изучение свойств функций является важным этапом в изучении математики и информатики. Это позволяет лучше понимать закономерности окружающего мира и применять математические методы в различных областях науки и техники.

Вопросы для закрепления темы:

• Что такое функция?
• Какие способы задания функций существуют?
• Что такое область определения и область значений функции?
• Перечислите основные свойства функций и приведите примеры.

Практическое задание:

1. Составьте таблицу основных свойств функций на примере квадратичной функции y = x².
2. Постройте график функции y = sin(2x) и проанализируйте её свойства.
3. Найдите нули функции f(x) = ax² + bx + c и определите её промежутки знакопостоянства.

Решение:

1. Таблица основных свойств квадратичной функции:	Свойство	Значение
   Область определения	Все действительные числа
   Область значений	[0; +∞)
   Чётность/нечётность	Нечётная
   Монотонность	Возрастающая при a > 0, убывающая при a < 0
   Нули функции	x = −b / 2a
   Промежутки знакопостоянства	f(x) > 0 при x < −b / 2a и x > −b / 2a, f(x) < 0 при −b / 2a < x < −b / 2a.

2. График функции y = sin(2x):

График функции представляет собой синусоиду, которая повторяется каждые π радиан (180°). Функция периодическая с периодом 2π. Нулей функции нет. Промежуток знакопостоянства функции: (−∞; +∞). Функция принимает положительные значения на промежутках [2πn; π + 2πn], где n — целое число, и отрицательные значения на промежутках (−π + 2πn; 2πn).

3. Нули функции f(x) = ax² + bx + c:Чтобы найти нули функции, нужно решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Если дискриминант уравнения D = b² − 4ac больше нуля, то уравнение имеет два различных корня. Эти корни и будут нулями функции. Если D = 0, то функция имеет один корень. Если D < 0, то корней нет, и функция не имеет нулей.

Промежутки знакопостоянства можно найти, решив неравенства f(x) ≥ 0 и f(x) ≤ 0. Значение функции будет положительным на интервалах, где f(x) ≥ 0, и отрицательным на интервалах, где f(x) ≤ 0.