Свойства степеней

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен числу a:

$a^n = a a ... * a$, где число a повторяется n раз.

Число a называют основанием степени, а число n — показателем степени.

Степень с основанием a и показателем 1 равна числу a: $a^1 = a$.

Первая степень любого числа равна самому числу: $5^1=5; (–3,2)^1= –3,2$.

Нулевая степень числа 0 определена только для одного числа — нуля: $0^0 = 1$.

Для любого числа, отличного от нуля, нулевая степень равна единице: $а^0=1$.

Степени обладают рядом свойств, которые используются при решении задач и упрощении выражений. Рассмотрим основные свойства степеней.

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями: чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, надо сложить их показатели, а основание оставить прежним.

Пример: $2^3 * 2^5 = 2^(3+5) = 2^8 = 256$.

2. Деление степеней с одинаковыми основаниями: чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить тем же.

Пример: $(4^6):(4^4)=4^(6-4)=4^2=16$.

3. Возведение степени в степень: при возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание остаётся неизменным.

Пример: $(2^3)^5=2^{3*5}=2^15$.

4. Степень произведения: чтобы найти степень произведения, можно найти степени каждого сомножителя и перемножить их.

Пример: $(3 5)^2 = (3^2 5^2) = (9 * 25) = 225$.

5. Степень частного: чтобы возвести в степень частное, достаточно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель и первый результат разделить на второй.

Пример: $(7 : 3)^3 = (7^3 : 3^3) = (343 : 27) = 12,7**.

6. Степень дроби: чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в данную степень числитель и знаменатель дроби.

Пример: $(\frac{3}{4})^2 = \frac{(3^2)}{(4^2)} = \frac{9}{16}$.

7. Степень отрицательного числа: для любого действительного числа а и натурального числа n, большего 1, справедливо равенство: $(-a)^n = a^n$.

Пример: $(-3)^4 = 81$.

8. Степень положительного числа: для любого положительного числа а справедливо равенство: $(a^0)^n = a^0$.

Пример: $(5^0)^3 = 1^3 = 1**.

9. Степень нуля: нуль в любой натуральной степени равен нулю: $0^n = 0$.

Пример: 0^3 = 0.

Важно отметить, что свойства степеней применяются не только в алгебре, но и в информатике. Например, при работе с алгоритмами и программированием часто используются операции со степенями. В частности, возведение в степень может быть полезно при вычислении значений переменных или при выполнении математических операций в рамках алгоритмов.

Также свойства степеней могут быть полезны при анализе данных и обработке информации. Они позволяют упростить выражения и сократить количество операций, что может ускорить процесс обработки данных.

В целом, свойства степеней являются важным инструментом для решения различных задач в математике, информатике и других областях науки и техники. Их понимание и умение применять на практике помогут вам успешно решать задачи и анализировать информацию.

Вопросы для самоконтроля:

• Что такое степень числа?
• Какие свойства степеней существуют?
• Как применяются свойства степеней в информатике?

Практические задания:

1. Вычислите: $3^5 * 3^7$.
2. Найдите значение выражения: $(x^2 y^3)^4$.
3. Решите уравнение: $x^3 = x^2 + 6x + 8$.

Ответы:

1. $448$.
2. $x^{10} y^{12}$.
3. $2$.