Свойства квадратного корня

Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен a. Это записывается так: √a = b, где b² = a.

Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат. То есть, чтобы извлечь квадратный корень из некоторого числа, нужно найти такое число, которое при возведении в квадрат даст исходное число. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9.

В математике существует несколько свойств квадратного корня, которые помогают упростить вычисления и решать задачи. Рассмотрим их подробнее.

1. Свойство произведения квадратных корней: если a ≥ 0 и b ≥ 0, то √(ab) = √a * √b.

Это свойство позволяет упростить умножение квадратных корней. Например:

√4 √25 = √(4 25) = √100 = 10.

2. Свойство частного квадратных корней: для любых неотрицательных чисел a и b (a ≥ 0; b > 0), выполняется равенство: √(a / b) = √a / √b.

Например: √16 / √4 = √16 / 2 = 4 / 2 = 2.

3. Свойство квадратного корня из степени: для любого положительного числа а справедливо равенство: √а² = |a|.

Пример: √(-9)² = √81 = 9, так как -9 < 0.

4. Свойство корня из произведения: √(ac) = √a * √c, если a ≥ 0 и c ≥ 0.

Пример: √36 √64 = √(36 64) = √2³ 2⁶ = 2² 2³ = 4 * 8 = 32.

5. Свойство корня из дроби: √(a/b) = √a / √b, если a ≥ 0 и b > 0.

Пример: √12 / √3 = √(12 / 3) = √4 = 2, так как 12 ≥ 0 и 3 > 0.

Эти свойства позволяют выполнять различные операции с квадратными корнями, упрощать выражения и решать уравнения. Они также могут быть использованы для доказательства теорем и решения задач.

Важно помнить, что квадратные корни можно извлекать только из неотрицательных чисел. Если число отрицательное, то квадратный корень из него не существует.

Рассмотрим пример использования свойств квадратного корня для решения задачи:

Задача: упростить выражение √(x² + 2x + 1) – √(x² – 2x + 5).

Решение:

1. Воспользуемся свойством произведения квадратных корней: √(x² + 2x + 1) = √((x + 1)²) = x + 1.

2. Аналогично, √(x² – 2x + 5) = √((x – 5/2)²) = x – 5/2.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение: (x + 1) – (x – 5/2).

4. Выполним вычитание: x + 1 – x + 5/2 = 1 + 5/2 = 7/2.

Ответ: 7/2.

Таким образом, мы упростили исходное выражение, используя свойства квадратного корня.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое квадратный корень?

2. Какие свойства квадратного корня вы знаете?

3. Как использовать свойства квадратного корня для упрощения выражений?

4. Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?

Ответы на эти вопросы помогут вам лучше понять тему и успешно применять свойства квадратного корня в решении задач.