Тема: «Графики функций»

Введение

В математике функции играют важную роль, позволяя описывать зависимости между переменными величинами. Одной из основных характеристик функции является её график — наглядное представление о поведении функции на числовой плоскости. В этой теме мы рассмотрим основные понятия и свойства графиков функций, а также научимся строить графики различных функций.

Определение функции

Функция — это правило, которое каждому значению независимой переменной (аргумента) ставит в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции). Например, функция $y = x^2$ каждому значению $x$ ставит в соответствие значение $y$, равное квадрату этого значения.

График функции — это множество точек на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению функции. Другими словами, график функции представляет собой геометрическое изображение зависимости между значениями аргумента и функции.

Для построения графика функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область определения функции, то есть множество значений аргумента, для которых функция определена.
2. Найти несколько значений функции при различных значениях аргумента.
3. Отметить полученные точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией.
4. Проверить, что полученная линия удовлетворяет уравнению функции во всех точках.
5. Если функция задана неявно, например, как уравнение окружности или параболы, то необходимо выразить одну переменную через другую и построить график полученной функции.
6. Проанализировать полученный график, определить его особенности, такие как точки пересечения с осями координат, экстремумы, промежутки возрастания и убывания.
7. Сделать выводы о свойствах функции на основе анализа графика.

Рассмотрим пример построения графика функции $y = 2x + 3$.

1. Область определения функции: все действительные числа.
2. Найдём несколько значений функции:
   • при $x = 0$, $y = 3$;
   • при $x = -1$, $y = -1$;
   • при $x = 1$, $y = 5$.
3. Отметим полученные точки на плоскости: $(0; 3)$, $(-1; -1)$, $(1; 5)$.
4. Соединим эти точки плавной линией, которая будет графиком функции. Получим прямую линию, проходящую через начало координат под углом $45^\circ$.
5. Проверим, что эта линия удовлетворяет уравнению $y = 2x + 3$ во всех точках:
   • для точки $(0; 3)$: $3 = 2 \cdot 0 + 3$, верно;
   • для точки $(-1; -1)$: $-1 = 2 \cdot (-1) + 3$, неверно;
   • для точки $(1; 5)$: $5 = 2 \cdot 1 + 3$, верно.

Таким образом, мы построили график функции $y = 2x + 3$, который представляет собой прямую линию.

Важно отметить, что график функции может иметь различные формы в зависимости от вида функции. Например, график квадратичной функции представляет собой параболу, график тригонометрической функции — синусоиду или косинусоиду, график показательной функции — экспоненту.

Также стоит упомянуть о том, что графики функций могут пересекаться, иметь общие точки или быть параллельными друг другу. Это позволяет использовать графики для решения уравнений и неравенств, нахождения корней и областей определения функций.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое функция?
2. Что такое график функции?
3. Как построить график функции?
4. Какие особенности можно определить по графику функции?
5. Какие формы могут иметь графики различных функций?

Примеры задач:

1. Построить график функции $y = \frac{x}{2} + 1$.
2. Определить по графику функции $y = x^2$, где находится область определения и область значений функции.
3. Решить уравнение $x^2 + y^2 = 4$ графически.