Определение чётности и нечётности функции

ВведениеВ алгебре, особенно в 9 классе, изучаются различные виды функций. Одним из важных аспектов изучения функций является определение их чётности или нечётности. В этом учебном материале мы рассмотрим, что такое чётность и нечётность функции, как определить чётность или нечётность заданной функции и какие свойства имеют чётные и нечётные функции.

Определение чётной и нечётной функцииФункция называется чётной, если для любого значения аргумента $x$ выполняется равенство:$f(-x)=f(x)$.Это означает, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $y$).

Функция называется нечётной, если для любого значения аргумента $x$ выполняется равенство:$f(-x)=-f(x)$Это означает, что график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Если ни одно из этих условий не выполняется, то функция называется ни чётной, ни нечётной.

Примеры определения чётности и нечётности функцийРассмотрим несколько примеров определения чётности и нечётности функций:

1. Функция $f(x)=x^2$ является чётной функцией, так как $f(-x)=(-x)^2=x^2$.
2. Функция $g(x)=\sin x$ является нечётной функцией, так как $g(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-g(x)$.
3. Функция $h(x)=x\cdot \cos x$ не является ни чётной, ни нечётной, так как она не удовлетворяет ни одному из условий чётности или нечётности.

Свойства чётных и нечётных функцийЧётные функции обладают следующими свойствами:

• График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
• Если $x_0$ — корень чётной функции, то $-x_0$ также является корнем этой функции.Нечётные функции также имеют свои свойства:
• График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
• Произведение двух нечётных функций является чётной функцией.
• Сумма двух нечётных функций также является нечётной функцией.

Как определить чётность или нечётность функции?Чтобы определить чётность или нечётность функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Проверить, выполняется ли условие чётности для данной функции: $f(-x)=f(x)$, если да, то функция чётная.
2. Проверить, выполняется ли условие нечётности для данной функции: $f(-x)=-f(x)$, если да, то функция нечётная.
3. Если ни одно из условий не выполняется, то функция ни чётная, ни нечётная.

Важно отметить, что определение чётности или нечётности функции может быть полезным при решении задач и анализе графиков функций. Например, если известно, что функция чётная, то можно предположить, что её график будет симметричным относительно оси ординат, и это может помочь в построении графика.

Также стоит упомянуть, что некоторые функции могут быть одновременно и чётными, и нечётными. Это происходит в случае, когда область определения функции ограничена определённым интервалом или условием. Например, функция $f(x)=x$, определённая на интервале $[0;+\infty)$, является одновременно чётной и нечётной.

Таким образом, определение чётности и нечётности функции является важным аспектом изучения алгебры в 9 классе. Оно помогает лучше понять свойства функций и использовать их при решении различных задач.