Похожие темы
Решение систем уравнений, содержащих уравнения второй степени.
Решение систем уравнений, содержащих уравнения второй степени
В математике часто встречаются задачи, которые требуют решения системы уравнений. Система уравнений — это набор из двух или более уравнений с несколькими неизвестными, которые связаны между собой. Решение системы уравнений означает нахождение значений неизвестных, при которых все уравнения системы становятся верными равенствами.
Для решения систем уравнений, содержащих уравнения второй степени, можно использовать различные методы. Рассмотрим один из них — метод подстановки. Этот метод заключается в том, что мы выражаем одну переменную через другую в одном из уравнений системы и подставляем полученное выражение во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной, которое мы решаем. Затем находим значение второй переменной, подставляя найденное значение в выражение, полученное на первом шаге.
Пример 1. Решим систему уравнений:
$x^2 + y^2 = 5$,
$xy = 3$.
Решение:
Выразим $y$ через $x$ из второго уравнения: $y = \frac{3}{x}$.
Подставим полученное выражение в первое уравнение: $(\frac{3}{x})^2 + x^2 = 5$.
Решим полученное уравнение относительно $x$. Для этого возведём обе части уравнения в квадрат: $\frac{9}{x^2} + x^2 = 25$.
Приведём подобные слагаемые: $x^4 - 25x^2 + 9 = 0$.
Разложим левую часть уравнения на множители: $(x^2 - 3)(x^2 - \frac{1}{3}) = 0$.
Получаем два уравнения: $x^2 = 3$ и $x^2 = \frac{1}{3}$.
Из первого уравнения находим $x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$. Из второго уравнения получаем $x_3 = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $x_4 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Найдём соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в выражение $y = \frac{3}{x}$:
- для $x_1$ и $x_2$ получаем $y_1 = -\sqrt{3}$ и $y_2 = \sqrt{3}$;
- для $x_3$ и $x_4$ получаем $y_3 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $y_4 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, система уравнений имеет четыре решения: $(\sqrt{3}, -\sqrt{3}), (-\sqrt{3}, \sqrt{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}), (-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$.
Вопросы для самоконтроля:
- Что такое система уравнений?
- Какие методы решения систем уравнений вы знаете?
- В чём заключается метод подстановки?
Этот метод является одним из самых простых и универсальных методов решения систем уравнений. Однако он может быть не всегда эффективным, особенно если уравнения содержат сложные выражения или имеют несколько неизвестных. В таких случаях могут потребоваться другие методы, такие как метод сложения, графический метод или метод замены переменных.
