Формулы сокращённого умножения и делимость — это две важные темы в алгебре, которые помогают нам упростить вычисления и понять структуру чисел и многочленов. Разберём каждую из этих тем подробно, чтобы вы могли уверенно использовать их в решении задач.

Формулы сокращённого умножения — это специальные равенства, которые позволяют быстро и эффективно умножать многочлены. Эти формулы помогают избежать громоздких вычислений и делают процесс более удобным. Существует несколько основных формул сокращённого умножения, которые мы сейчас рассмотрим.

• (a + b)² = a² + 2ab + b² — это формула квадрата суммы. Она используется, когда необходимо возвести в квадрат сумму двух выражений.
• (a - b)² = a² - 2ab + b² — формула квадрата разности. Аналогично первой, она применяется для возведения в квадрат разности двух выражений.
• (a + b)(a - b) = a² - b² — формула разности квадратов. Эта формула позволяет быстро вычислить произведение суммы и разности двух выражений.

Теперь давайте рассмотрим, как применять эти формулы на практике. Например, если нам нужно вычислить (3x + 4)², мы можем использовать формулу квадрата суммы:

1. Сначала определяем a и b: a = 3x, b = 4.
2. Применяем формулу: (3x + 4)² = (3x)² + 2(3x)(4) + (4)².
3. Вычисляем каждое слагаемое: (3x)² = 9x², 2(3x)(4) = 24x, (4)² = 16.
4. Складываем все результаты: 9x² + 24x + 16.

Таким образом, (3x + 4)² = 9x² + 24x + 16. Как вы видите, использование формул сокращённого умножения значительно упрощает процесс вычислений.

Теперь перейдём к теме делимости. Делимость — это свойство целых чисел, которое определяет, может ли одно число делиться на другое без остатка. Например, число a делится на число b, если существует такое целое число k, что a = b * k. Важно понимать, что делимость играет ключевую роль в арифметике и алгебре, так как она позволяет анализировать числа и их свойства.

Основные правила делимости включают в себя:

• Число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
• Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
• Число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5.
• Число делится на 10, если его последняя цифра 0.

Рассмотрим пример. Допустим, нам нужно выяснить, делится ли число 123456 на 3. Мы суммируем его цифры: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Поскольку 21 делится на 3 (21 = 3 * 7), следовательно, и число 123456 делится на 3.

Делимость также тесно связана с понятием простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 — это простые числа. Понимание делимости и простоты чисел позволяет нам решать более сложные задачи, такие как факторизация и нахождение наибольшего общего делителя (НОД).

В заключение, формулы сокращённого умножения и делимость — это два мощных инструмента в алгебре, которые облегчают решение математических задач. Освоив эти темы, вы сможете быстрее и точнее проводить вычисления, а также углубить свои знания о числах и их свойствах. Регулярная практика поможет закрепить эти навыки и повысить вашу уверенность в математике.