Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²: ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² β ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ², ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅. ΠΡΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ , ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΡΠΎΠΈΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ, Π³Π΅ΠΎΠ΄Π΅Π·ΠΈΡ, Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠΈΡ ΠΈ Ρ.Π΄.
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Ρ Π² ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΠΉ.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ
Π’ΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ β ΡΡΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ°Ρ ΠΈΠ· ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ (Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½), Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΈ ΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² (ΡΡΠΎΡΠΎΠ½), ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. Π’ΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠΈ ΡΠ³Π»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ. Π‘ΡΠΌΠΌΠ° Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° 180Β°.
ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΡΡΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°. ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΡΠ³Π»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΡΠΎ ΠΎΠ½ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡΠ½Π½ΡΠΌ.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ .
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos A$
Π³Π΄Π΅ $a$, $b$ ΠΈ $c$ β ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π° $A$ β ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ $b$ ΠΈ $c$.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ Π΄Π²Π΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ. ΠΠ½Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π° Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:ΠΠ°Π½ΠΎ: $AB = 5$, $BC = 6$, $AC = 7$. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ: $β B$.Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:ΠΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ²:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot cos B$$49 = 25 + 36 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot cos B$$cos B = \frac{1}{2}$$β B = 60Β°$ΠΡΠ²Π΅Ρ: $β B = 60Β°$.
$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$
Π³Π΄Π΅ $a$, $b$ ΠΈ $c$ β ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π° $A$, $B$ ΠΈ $C$ β ΡΠ³Π»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ Π΄Π²Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ³ΠΎΠ». ΠΠ½Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:ΠΠ°Π½ΠΎ: $BC = 8$, $β A = 30Β°$, $β C = 45Β°$. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ: $AB$.Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:ΠΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ²:$\frac{BC}{sin β A} = \frac{AB}{sin β C}$$AB = BC \cdot sin β C / sin β A$$AB = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} / \frac{1}{2} = 8\sqrt{2}$ΠΡΠ²Π΅Ρ: $AB = 8\sqrt{2}$.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ. ΠΡΠ±ΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π² ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ, ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ, ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ.ΠΏ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. ΠΡΡΡΡ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°: Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
ΠΠ»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π² ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. ΠΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ, ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ.