Тема: Ломаные. Построение и виды ломаных

Цель занятия: изучить понятие ломаной, научиться строить ломаные различных видов, рассмотреть основные свойства ломаных.

Основные понятия и определения

Ломаная — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых друг с другом. Отрезки называются звеньями ломаной, а точки соединения звеньев — вершинами ломаной.

Звенья ломаной могут быть как одинаковыми, так и разными по длине.

Замкнутая ломаная — это ломаная, у которой начало и конец совпадают.

Простая ломаная — это незамкнутая ломаная без самопересечений.

Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев.

Пример:

ABCD — ломаная, состоящая из четырёх звеньев AB, BC, CD и четырёх вершин A, B, C, D.

AC — длина ломаной ABCD, равная сумме длин отрезков AB, BC, CD.

Ломаные бывают различных видов:

• Незамкнутые ломаные, у которых начало и конец не совпадают. Пример: ABCD.
• Замкнутые ломаные, у которых начало и конец совпадают. Пример: ABCA.
• Ломаные с самопересечениями. Пример: ABCDE, где отрезок DE пересекает отрезок BC.

Виды ломаных различаются по количеству звеньев и вершин.

В зависимости от количества звеньев различают:

• Однозвенные ломаные (отрезок).
• Двухзвенные ломаные (луч).
• Трёхзвенные ломаные и так далее.

От количества вершин зависят следующие свойства ломаной:

1. Простые ломаные — это незамкнутые ломаные без самопересечений, состоящие из любого количества звеньев и вершин, кроме одной. Примеры: AB, ABC, ABCDE и т. д.
2. Замкнутые ломаные состоят из трёх и более звеньев и вершин. Примеры: ABCА, DEFGH и т. д. Замкнутые ломаные также могут иметь самопересечение (кроме одной вершины). Пример: ABCDAE.
3. Ломаные с самопересечением могут иметь любое количество звеньев и вершин (кроме одной). Примеры: ABCDЕ, EFGHIJKL и т. д.

Построение ломаной

Для построения ломаной необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать на плоскости точки, которые будут вершинами ломаной (A, B, C и т. д.).
2. Соединить вершины отрезками.

Существуют различные способы построения ломаных, например, с помощью линейки и циркуля.

Рассмотрим пример построения ломаной ABCDE:

1. Выбираем на плоскости четыре точки A, B, C, D, E.
2. С помощью линейки проводим отрезки AB, BC, CD, DE.

Таким образом, мы построили ломаную ABCDE.

Свойства ломаных

Основные свойства ломаных:

1. Звенья ломаной являются отрезками.
2. Длина ломаной равна сумме длин её звеньев.
3. Если концы ломаной соединить отрезком, то получится замкнутая ломаная.
4. Незамкнутая ломаная состоит из точек и отрезков.
5. В незамкнутой ломаной сумма длин двух звеньев больше оставшегося звена.
6. Замкнутая ломаная не имеет концов, поэтому её длина равна нулю.

Примеры:

1. Даны две ломаные ABC и DEF. AB = 3 см, BC = 4 см, DE = 5 см, EF = 2 см.Определить длину каждой ломаной и сравнить их.Решение:Длина ломаной ABC равна AB + BC = 3 + 4 = 7 см.Длина ломаной DEF равна DE + EF = 5 + 2 = 7 см.Ответ: длины ломаных ABC и DEF равны 7 см, следовательно, они равны.

2. Даны три ломаные ABE, ACD и ABC.Найти сумму длин всех звеньев ломаных и сравнить их между собой.Решение:Сумма длин всех звеньев ломаной ABE равна AB + BE.Сумма длин всех звеньев ломаной ACD равна AC + CD.Сумма длин всех звеньев ломаной ABC равна AB + BC + AC.Так как AB = AC, то сумма длин всех звеньев ломаной ACD меньше суммы длин всех звеньев ломаной ABC.Ответ: сумма длин всех звеньев ломаной ACD меньше суммы длин всех звеньев ломаной ABC.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение ломаной.
2. Какие виды ломаных вы знаете?
3. Как построить ломаную?
4. Назовите основные свойства ломаных.