Нахождение длины отрезка

ВведениеОтрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается заглавными буквами, поставленными около его концов.

Для нахождения длины отрезка используются различные методы в зависимости от исходных условий. Рассмотрим основные из них.

1. Нахождение длины отрезка по координатам его концовЕсли известны координаты концов отрезка, то его длину можно найти по формуле:

$d = \sqrt{(x{2} - x{1})^2 + (y{2} - y{1})^2}$

где $(x{1}, y{1})$ и $(x{2}, y{2})$ — координаты концов отрезка.

Пример: Найти длину отрезка $AB$, если $A(3, 4)$, $B(7, 1)$.

Решение:Подставляем координаты точек $A$ и $B$ в формулу:

$ d = \sqrt{ (7 - 3)^2 + (1 - 4)^2 } = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} $

Таким образом, длина отрезка $AB$ равна $\sqrt{34}$.

2. Нахождение длины отрезка через теорему ПифагораЕсли отрезок является катетом прямоугольного треугольника, то его длина может быть найдена через теорему Пифагора.

Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. Тогда:

$c^2 = a^2 + b^2$

Пример: Дан прямоугольный треугольник $ABC$, где $AC = 6$ см, $BC = 8$ см. Найти длину гипотенузы $AB$.

Решение: Воспользуемся теоремой Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$$AB^2 = 6^2 + 8^2$$AB^2 = 36 + 64$$AB^2 = 100$$AB = \sqrt{100}$$AB = 10$ см

Таким образом, гипотенуза $AB$ имеет длину 10 см.

Также теорема Пифагора может быть использована для нахождения длины гипотенузы треугольника, если известны длины катетов. В этом случае длина гипотенузы будет равна квадратному корню из суммы квадратов катетов:

$ c = \sqrt { a^2 + b^2 } $

3. Нахождение длины отрезка как расстояния между двумя точкамиЕсли даны две точки $A(x{1}, y{1})$ и $B(x{2}, y{2})$, то длина отрезка $AB$ может быть найдена как расстояние между этими точками:

$ AB = \sqrt{( x{2} - x{1} )^2 + ( y{2} - y{1} )^2} $

Пример: Даны точки $A(1, 3)$ и $B(5, 7)$. Найти длину отрезка $AB$.

Решение: Подставим координаты точек в формулу:

$ AB = \sqrt{( 5 - 1 )^2 + ( 7 - 3 )^2 } = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{5} $

Таким образом, длина отрезка $AB$ равна 2√5.

Эти методы могут быть использованы для нахождения длины отрезка в различных ситуациях.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое отрезок?
2. Как найти длину отрезка по координатам его концов?
3. Как применить теорему Пифагора для нахождения длины отрезка?
4. Как найти расстояние между двумя точками?

Дополнительные материалы:

• Для наглядности можно использовать интерактивные инструменты, такие как онлайн-калькуляторы или программы для построения графиков.
• Можно предложить учащимся решить задачи на нахождение длины отрезка с использованием различных методов. Это поможет им лучше понять материал и научиться применять полученные знания на практике.

Заключение:Нахождение длины отрезка является важной задачей в геометрии. Для её решения можно использовать различные методы, такие как нахождение длины отрезка по координатам концов, применение теоремы Пифагора или нахождение расстояния между точками. Важно понимать, что выбор метода зависит от исходных данных и условий задачи.