Периметр — это общая длина всех сторон фигуры. Когда мы обводим контур фигуры по краю, расстояние, которое мы «проходим», и есть её периметр. В задачах 5 класса это понятие встречается постоянно: нужно оградить участок, обшить рамку, прошить по краю, наклеить ленту по контуру. Чтобы решать такие задачи увереннее, важно не только помнить формулы, но и уметь переводить текст условия в уравнение. Уравнение помогает выразить неизвестную величину с помощью известной и аккуратно найти ответ. Ниже разберём, как это делается, на понятных шагах и примерах, а также обсудим типичные ошибки и способы проверки решения.

Начнём с базовых формул. Периметр любого многоугольника — это сумма длин его сторон. Для некоторых фигур формулы особенно удобны и короткие. Для прямоугольника с длиной a и шириной b периметр равен P = 2 · (a + b): по две одинаковые пары сторон. Для квадрата со стороной a — P = 4 · a, ведь все стороны равны. Для треугольника со сторонами a, b, c — P = a + b + c. Для произвольного многоугольника периметр — это просто сумма всех его сторон по порядку. Эти формулы — основа. Но в задачах часто какая-то сторона неизвестна, а что-то дано словами. Тогда мы обозначаем неизвестную буквой (чаще всего x) и составляем уравнение по смыслу.

Чтобы грамотно решать задачи на периметр и уравнения, придерживайтесь алгоритма. Он помогает не запутаться и ничего не забыть:

• Внимательно прочитайте условие, выделите, что дано, а что нужно найти. Подчеркните числа и единицы измерения.
• Сделайте простой рисунок или схему: подпишите известные длины, неизвестные обозначьте буквой.
• Запишите выражение для периметра фигуры. Пока без подстановки чисел, просто общая формула.
• Подставьте в формулу известные данные. Если есть неизвестная величина, оставьте её как букву — и получится уравнение.
• Решите уравнение. Проверьте: подставьте найденное значение обратно и убедитесь, что периметр получился верным.
• Запишите ответ с единицами измерения и оцените разумность результата (например, длина стороны не может быть отрицательной или больше периметра).

Важный технический момент — единицы измерения. Чаще всего длины даны в сантиметрах, реже — в миллиметрах или метрах. Всегда приводите всё к единому виду, прежде чем составлять уравнение. Полезно помнить: 10 мм = 1 см, 100 см = 1 м, 1000 мм = 1 м. Ошибка в переводе единиц легко испортит весь расчёт. Если в условии длина одной стороны указана в метрах, а другая — в сантиметрах, то преобразуйте их к одинаковой единице, например ко всем сантиметрам.

Разберём первый простой пример на основе прямоугольника. Пусть у прямоугольника периметр 38 см, а длина 11 см. Найдите ширину.

1. Обозначим ширину буквой x.
2. Формула периметра прямоугольника: P = 2 · (a + b). Подставляем: 38 = 2 · (11 + x).
3. Решаем уравнение. Сначала делим обе части на 2: 19 = 11 + x. Затем вычитаем 11: x = 8.
4. Проверяем: 2 · (11 + 8) = 2 · 19 = 38 см — верно.
5. Ответ: ширина равна 8 см.

Обратите внимание на логику: мы не запоминали никаких хитрых приёмов, а просто составили уравнение по формуле и аккуратно решили его.

Второй типичный сюжет — квадрат. Допустим, периметр квадрата 72 см. Требуется найти сторону, а затем, например, вычислить стоимость окантовки, если 1 см ленты стоит 2 рубля.

1. Для квадрата P = 4 · a. Подставляем: 72 = 4 · a. Тогда a = 72 : 4 = 18 см.
2. Периметр уже известен (72 см), значит длина ленты — 72 см. Стоимость равна 72 · 2 = 144 рубля.
3. Проверка: у квадрата со стороной 18 см периметр действительно 4 · 18 = 72 см.

Этот пример демонстрирует, как задачи на периметр связаны с повседневными ситуациями: покупка ленты, ограждение, оклеивание рамки. И снова уравнение короткое, потому что формула простая.

Теперь задача с треугольником, где удобнее выражать неизвестную через уравнение. Пусть у равнобедренного треугольника периметр 48 см, а основание 10 см. Найдите длину боковой стороны.

1. У равнобедренного треугольника две боковые стороны равны. Обозначим каждую боковую сторону x.
2. Тогда периметр: 10 + x + x = 48. Получаем уравнение: 2x + 10 = 48.
3. Решаем: 2x = 38, x = 19 см.
4. Проверка: 10 + 19 + 19 = 48 см — всё сходится.

Если бы в условии сказали, что боковая сторона на 5 см длиннее основания, мы поступили бы так: обозначили бы основание a, боковую сторону как a + 5, составили периметр a + (a + 5) + (a + 5) и получили уравнение 3a + 10 = P. Идея одна и та же: выразить все стороны через одну переменную и сложить.

Ещё один очень важный тип задач — когда стороны связаны соотношениями «больше на», «меньше на», «в два раза длиннее». Например: у прямоугольника периметр 44 см, при этом длина на 6 см больше ширины. Найдите стороны.

1. Обозначим ширину x см. Тогда длина — x + 6 см.
2. Составим формулу периметра: 2 · (x + (x + 6)) = 44.
3. Раскроем скобки и упростим: 2 · (2x + 6) = 44, значит 4x + 12 = 44.
4. Решаем: 4x = 32, x = 8 см — это ширина. Длина: 8 + 6 = 14 см.
5. Проверяем: 2 · (14 + 8) = 2 · 22 = 44 см — верно.

Заметьте, что мы не поддаёмся искушению «разделить периметр пополам и сразу вычесть 6». Сначала мы чётко записываем выражение для суммы сторон, и только потом проводим вычисления. Это помогает избежать ошибок, особенно в более сложных условиях.

На практике часто встречаются сложные контуры — из ломаных линий или составные фигуры из прямоугольников. Принцип остаётся прежним: периметр — это сумма длин всех внешних сторон. Полезно перенумеровать отрезки по порядку и сложить их. Иногда несколько внутренний отрезков «сокращаются», если они не входят во внешний край. Например, если два прямоугольника соединены боками, их общая внутренняя граница в периметр не входит. Чтобы не перепутать, всегда обводите пальцем внешний контур и записывайте длины по пути, заменяя неизвестные на буквы. Затем — уравнение и решение.

Обсудим типичные ошибки и как их избежать:

• Неправильно применена формула. В прямоугольнике иногда путают P = a + b с P = 2 · (a + b). Запомните: у прямоугольника две пары равных сторон, потому множитель 2 обязателен.
• Смешение единиц измерения. В условии части измерены в см, части — в мм. Перед вычислениями переводите всё к одной системе.
• Потеря одной из сторон в многоугольнике. Решение — аккуратно обводить контур и отмечать каждую сторону.
• Пропуск проверки. Всегда подставляйте найденные значения назад в формулу периметра — это мгновенно ловит большинство ошибок.
• Неверная интерпретация сравнений. «На 3 см больше» — это a + 3, а «в 3 раза больше» — это 3a. Это разные ситуации!

Иногда задача включает экономический смысл: цена ограждения, стоимость ленты, время на обход по периметру. В таком случае создаётся не одно уравнение, а два, одно из которых — про периметр, второе — про стоимость или время. Пример: периметр участка 50 м, ограждение стоит 120 рублей за метр. Сколько денег нужно? Здесь уравнение простое: стоимость = 50 · 120. А если периметр неизвестен, то сначала составьте выражение для периметра через переменные, найдите его, и лишь потом переходите к стоимости.

Давайте решим задачу со связью «в несколько раз». Пусть у прямоугольника периметр 60 см. Его длина в 3 раза больше ширины. Найдите стороны.

1. Обозначим ширину x см, тогда длина 3x см.
2. Периметр: 2 · (x + 3x) = 60.
3. Упрощаем: 2 · (4x) = 60, значит 8x = 60, x = 60 : 8 = 7,5 см.
4. Длина: 3 · 7,5 = 22,5 см. Проверка: 2 · (7,5 + 22,5) = 2 · 30 = 60 см — верно.
5. Вывод: дробные значения допустимы, если условие этого не запрещает.

Ещё пример, где сравниваются периметры разных фигур. У двух прямоугольников периметры равны. У первого длина 18 см и ширина x см, у второго длина 14 см и ширина 9 см. Найдите x.

1. Периметр первого: 2 · (18 + x). Периметр второго: 2 · (14 + 9) = 2 · 23 = 46.
2. Составим уравнение равенства периметров: 2 · (18 + x) = 46.
3. Делим на 2: 18 + x = 23. Следовательно, x = 5 см.
4. Проверка: 2 · (18 + 5) = 2 · 23 = 46 см — всё совпало.

Такие задачи учат вас сравнивать не только числа, но и выражения. Главное — чётко выписать формулы для каждой фигуры отдельно и только потом их приравнять.

Чтобы ваши решения были системными и аккуратными, используйте следующие приёмы:

• Составляйте краткую запись условия: что дано, что нужно найти, какие отношения между сторонами.
• Делайте схему: даже набросок с буквами на сторонах повышает точность и экономит время.
• Перед тем как решать, проверьте, что все величины приведены к одинаковым единицам.
• Записывайте уравнение полностью, без пропусков шагов. Так проще находить и исправлять ошибки.
• Обязательно делайте проверку подстановкой и оценку разумности результата.

Иногда удобнее выражать не каждую сторону через свою букву, а все стороны через одну. Например, если сказано: «ширина меньше длины на 4 см», то пусть x — ширина, а длина — x + 4. Если сказано: «сумма длины и ширины равна 17 см», то удобно взять x — ширина, а длина — 17 − x, и тогда периметр P = 2 · (x + 17 − x) = 34 см, и можно сверить условие с ответом. Такой подход тренирует умение видеть скрытые подсказки в тексте.

В завершение — несколько задач для тренировки, где нужно составить уравнение и решить:

• Периметр квадрата 36 см. Найдите сторону. Сколько метров ленты понадобится на окантовку трёх таких квадратов? (Подсказка: сначала найдите сторону, затем периметр одного, потом умножьте на 3; не забудьте перевести см в м.)
• У прямоугольника периметр 52 см, а длина больше ширины на 8 см. Найдите длину и ширину.
• У равнобедренного треугольника периметр 40 см, боковая сторона на 6 см меньше основания. Найдите стороны. (Подсказка: основание x, боковая x − 6.)
• Две рамки имеют одинаковый периметр. Первая — квадрат со стороной 12 см, вторая — прямоугольник длиной 20 см и шириной y см. Найдите y.
• Сложная рамка составлена из двух прямоугольников 8 см на 5 см и 5 см на 3 см, соединённых боками вдоль стороны 5 см. Найдите общий периметр. (Подсказка: внутренняя общая сторона в периметр не входит.)

Освоив эти приёмы, вы увидите, что задания на периметр легко «переводятся» на язык уравнений. Важно понимать смысл: периметр — сумма всех внешних сторон, а уравнение — инструмент, который помогает из этой суммы достать неизвестное. Не бойтесь обозначать буквой и идти шаг за шагом: схема, формула, подстановка, решение, проверка. Такой порядок приводит к правильному результату и помогает мыслить уверенно и последовательно — а это главная цель изучения математики в 5 классе.