Преобразование периодических дробей в обыкновенные дроби – это важная тема в курсе математики для 7 класса. Периодические дроби представляют собой десятичные дроби, которые имеют повторяющуюся часть. Например, дробь 0,333... является периодической, так как цифра 3 повторяется бесконечно. Понимание того, как преобразовать такие дроби в обыкновенные, помогает не только в решении математических задач, но и в более глубоком понимании чисел и их свойств.

Для начала, давайте разберем, что такое **периодическая дробь**. Это дробь, у которой после запятой есть последовательность цифр, которая повторяется. Например, дробь 0,666... (где 6 повторяется бесконечно) или 0,142857142857... (где 142857 повторяется). Чтобы преобразовать периодическую дробь в обыкновенную, нам нужно использовать несколько математических шагов.

Первый шаг – обозначить периодическую дробь как переменную. Например, пусть x = 0,666... . Теперь мы можем воспользоваться свойством, что дробь повторяется. Для дроби 0,666... умножим обе стороны уравнения на 10. Это даст нам: 10x = 6,666... . Обратите внимание, что дробь справа по-прежнему периодическая, и мы можем снова использовать x для ее замены.

Теперь у нас есть два уравнения:

• x = 0,666...
• 10x = 6,666...

Следующий шаг – вычесть первое уравнение из второго. Это позволит избавиться от периодической части:

10x - x = 6,666... - 0,666...

Таким образом, мы получаем 9x = 6. Теперь, чтобы найти значение x, нужно разделить обе стороны уравнения на 9:

x = 6/9. Далее, упростим дробь 6/9, сократив на 3:

x = 2/3. Таким образом, мы преобразовали периодическую дробь 0,666... в обыкновенную дробь 2/3.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда периодическая дробь имеет не только одну, но и несколько цифр в периоде. Например, возьмем дробь 0,142857142857... . Обозначим ее как x:

x = 0,142857142857...

Умножим обе стороны уравнения на 1 000 000 (так как период состоит из 6 цифр):

1 000 000x = 142 857,142857...

Теперь у нас есть два уравнения:

• x = 0,142857...
• 1 000 000x = 142 857,142857...

Вычтем первое уравнение из второго:

1 000 000x - x = 142 857,142857... - 0,142857...

Это дает нам 999 999x = 142 857. Теперь делим обе стороны на 999 999:

x = 142 857 / 999 999. Упрощая эту дробь, мы получаем x = 1/7.

Таким образом, дробь 0,142857142857... преобразуется в обыкновенную дробь 1/7. Важно отметить, что процесс преобразования периодических дробей в обыкновенные дроби требует внимательности и четкости в расчетах. Для этого полезно записывать все шаги, чтобы избежать ошибок.

Теперь давайте рассмотрим еще один пример, где периодическая часть находится в начале дроби, а не в конце. Например, дробь 0,777... . Обозначим ее как y:

y = 0,777...

Умножим обе стороны на 10:

10y = 7,777...

Вычтем первое уравнение из второго:

10y - y = 7,777... - 0,777...

Получаем 9y = 7. Разделим обе стороны на 9:

y = 7/9. Таким образом, 0,777... преобразуется в обыкновенную дробь 7/9.

В заключение, преобразование периодических дробей в обыкновенные дроби – это важный навык, который поможет вам в дальнейшем изучении математики. Регулярная практика и понимание алгоритма преобразования помогут вам уверенно решать задачи на эту тему. Помните, что ключевыми шагами являются обозначение дроби как переменной, умножение на 10 или 100 в зависимости от количества цифр в периоде, вычитание уравнений и упрощение полученной дроби. Успехов вам в изучении математики!