Давайте поочередно докажем каждое из предложенных неравенств.

Сначала раскроем скобки с обеих сторон неравенства:

• (a + 6)(a - 9) = a² - 9a + 6a - 54 = a² - 3a - 54
• (a + 11)(a - 14) = a² - 14a + 11a - 154 = a² - 3a - 154

Теперь подставим полученные выражения в неравенство:

a² - 3a - 54 > a² - 3a - 154

Упростим неравенство, вычитая a² и -3a с обеих сторон:

-54 > -154

Это неравенство является истинным, следовательно, мы доказали, что:

(a + 6)(a - 9) > (a + 11)(a - 14) верно для всех a.

Сначала также раскроем скобки:

• (a - 10)² - 12 = a² - 20a + 100 - 12 = a² - 20a + 88
• (a - 7)(a - 13) = a² - 13a - 7a + 91 = a² - 20a + 91

Теперь подставим полученные выражения в неравенство:

a² - 20a + 88 < a² - 20a + 91

Упростим неравенство, вычитая a² и -20a с обеих сторон:

88 < 91

Это также является истинным, следовательно, мы доказали, что:

(a - 10)² - 12 < (a - 7)(a - 13) верно для всех a.

Сначала раскроем скобки:

• (4a - 1)(4a + 1) = 16a² - 1
• (5a - 7)² = 25a² - 70a + 49
• 14(5a - 4) + 6 = 70a - 56 + 6 = 70a - 50

Теперь подставим полученные выражения в неравенство:

16a² - 1 - (25a² - 70a + 49) ≤ 70a - 50

Упростим левую часть:

16a² - 1 - 25a² + 70a - 49 ≤ 70a - 50

-9a² + 70a - 50 ≤ 70a - 50

Упрощаем неравенство:

-9a² ≤ 0

Это неравенство верно, если a² ≥ 0, что выполняется для всех a. Таким образом, мы доказали, что:

(4a - 1)(4a + 1) - (5a - 7)² ≤ 14(5a - 4) + 6 верно для всех a.

В итоге все три неравенства доказаны и являются истинными для всех значений a.