Как найти значение tg^(2)t + ctg^(2)t, если известно, что tgt - ctgt = 1,5?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции значение tg^(2)t ctg^(2)t tgt ctgt алгебра 11 класс уравнение тригонометрии решение задачи алгебры Новый

Чтобы найти значение выражения tg²t + ctg²t, нам нужно использовать известное уравнение tg t - ctg t = 1,5. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Напомним, что:

• tg t = sin t / cos t
• ctg t = cos t / sin t

2. Из уравнения tg t - ctg t = 1,5 мы можем выразить tg t и ctg t через одну переменную. Обозначим tg t как x. Тогда ctg t можно выразить как 1/x:

tg t - ctg t = x - 1/x = 1,5.

3. Умножим обе стороны уравнения на x, чтобы избавиться от дроби:

x² - 1 = 1,5x.

4. Переносим все влево:

x² - 1,5x - 1 = 0.

5. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-1,5)² - 4*1*(-1) = 2,25 + 4 = 6,25.

6. Находим корни уравнения:

• x = (1,5 ± √6,25) / 2 = (1,5 ± 2,5) / 2.
• Корни: x₁ = 2 и x₂ = -0,5.

7. Поскольку tg t не может быть отрицательным, принимаем x = 2. Таким образом, tg t = 2.

8. Теперь найдем ctg t:

ctg t = 1/tg t = 1/2.

9. Теперь можем найти tg²t и ctg²t:

• tg²t = (tg t)² = 2² = 4.
• ctg²t = (ctg t)² = (1/2)² = 1/4.

10. Теперь подставим найденные значения в выражение tg²t + ctg²t:

tg²t + ctg²t = 4 + 1/4 = 4 + 0,25 = 4,25.

Ответ: Значение tg²t + ctg²t равно 4,25.