Существует ли такое положительное число a, что при всех действительных x верно неравенство

|cosx| + |cosax| > sinx + sinax

Алгебра 11 класс Неравенства с тригонометрическими функциями неравенство алгебра положительное число a cosx sinx алгебра 11 класс условия неравенства Новый

Чтобы выяснить, существует ли такое положительное число a, при котором неравенство |cos(x)| + |cos(a*x)| > sin(x) + sin(a*x) выполняется для всех действительных x, давайте проанализируем каждую часть этого неравенства.

Начнем с того, что функции cos(x) и sin(x) являются периодическими и имеют значения в диапазоне от -1 до 1. Это значит, что |cos(x)| будет принимать значения от 0 до 1, а sin(x) будет принимать значения от -1 до 1.

Теперь рассмотрим разные случаи:

• Когда x = 0:
• Тогда |cos(0)| = 1 и |cos(a*0)| = 1.
• С другой стороны, sin(0) = 0 и sin(a*0) = 0.
• Таким образом, для x = 0 неравенство будет: 1 + 1 > 0 + 0, что верно.
• Когда x = π/2:
• Тогда |cos(π/2)| = 0 и |cos(a*π/2)| зависит от a.
• При этом sin(π/2) = 1 и sin(a*π/2) также зависит от a.
• Неравенство будет выглядеть как: 0 + |cos(a*π/2)| > 1 + sin(a*π/2).
• Когда x = π:
• Тогда |cos(π)| = 1 и |cos(a*π)| = |(-1)^a|.
• При этом sin(π) = 0 и sin(a*π) = 0.
• Неравенство будет: 1 + |(-1)^a| > 0 + 0, что верно для любого a.

Теперь мы видим, что неравенство может выполняться для некоторых значений x, но необходимо проверить, выполняется ли оно для всех x.

Рассмотрим предельные случаи. Например, если a = 1, то:

• Неравенство становится: |cos(x)| + |cos(x)| > sin(x) + sin(x), что можно упростить до 2|cos(x)| > 2sin(x).
• Это неравенство не всегда верно, так как при x = π/4, 2|cos(π/4)| = 2(√2/2) = √2 и 2sin(π/4) = 2(√2/2) = √2.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что неравенство |cos(x)| + |cos(a*x)| > sin(x) + sin(a*x) не выполняется для всех действительных x при любом положительном a.

Следовательно, ответ на вопрос: такого положительного числа a не существует.