Докажите, что для любых значений a выполняется неравенство 3a^2 + 1 ≥ a(2a + 2).

Алгебра 8 класс Неравенства алгебра 8 класс неравенства доказательство неравенств квадратные выражения решение неравенств

Для доказательства неравенства 3a^2 + 1 ≥ a(2a + 2) мы начнем с преобразования правой части неравенства.

1. Распишем правую часть:
• a(2a + 2) = 2a^2 + 2a.
2. Теперь подставим это выражение в наше неравенство:
• 3a^2 + 1 ≥ 2a^2 + 2a.
3. Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить неравенство в стандартной форме:
• 3a^2 + 1 - 2a^2 - 2a ≥ 0.
• Это упрощается до a^2 - 2a + 1 ≥ 0.
4. Теперь мы имеем квадратное выражение: a^2 - 2a + 1.
5. Это выражение можно представить в виде полного квадрата:
• a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2.
6. Таким образом, наше неравенство теперь выглядит так:
• (a - 1)^2 ≥ 0.
7. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть (a - 1)^2 всегда больше или равно нуля для любых a.

Таким образом, мы доказали, что для любых значений a выполняется неравенство 3a^2 + 1 ≥ a(2a + 2).

Привет! Давай разберемся с этим неравенством. Нам нужно доказать, что для любых значений a выполняется следующее:

3a^2 + 1 ≥ a(2a + 2)

Сначала упростим правую часть неравенства:

• Раскроем скобки: a(2a + 2) = 2a^2 + 2a.

Теперь можем переписать неравенство так:

3a^2 + 1 ≥ 2a^2 + 2a

Теперь перенесем все в одну сторону:

• 3a^2 + 1 - 2a^2 - 2a ≥ 0
• Получаем: a^2 - 2a + 1 ≥ 0.

Теперь заметим, что выражение a^2 - 2a + 1 можно переписать как (a - 1)^2:

(a - 1)^2 ≥ 0

Это неравенство всегда выполняется, потому что квадрат любого числа не может быть отрицательным. Даже если a = 1, то (1 - 1)^2 = 0, что тоже подходит.

Таким образом, мы доказали, что неравенство 3a^2 + 1 ≥ a(2a + 2) выполняется для любых значений a!

Если будут еще вопросы, всегда рад помочь!