Эластичный мяч, брошенный с высоты 3 метра, каждый раз при ударе о землю отскакивает на высоту, составляющую 80% от предыдущей высоты. Какова сумма вертикальных расстояний, пройденных мячом вверх и вниз?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия алгебра 8 класс задача эластичный мяч высота отскок вертикальные расстояния сумма расстояний Геометрическая прогрессия физика математическая модель математическая задача Новый

Ответ: Сумма всех расстояний, пройденных мячом вверх и вниз, равна 27 метров.

Объяснение:

Давайте разберем, как мы пришли к этому ответу, шаг за шагом.

1. Когда мяч падает с высоты 3 метра, он проходит это расстояние вниз. Это первое расстояние составляет 3 метра.
2. При ударе о землю мяч отскакивает на высоту, равную 80% от высоты, с которой он упал. То есть, высота первого отскока равна 3 метра * 0,8 = 2,4 метра. Таким образом, мяч поднимается на 2,4 метра.
3. После того как мяч достигнет высоты 2,4 метра, он снова упадет, и пройдет такое же расстояние вниз - 2,4 метра. Теперь мы можем подсчитать общее расстояние, пройденное мячом:
• Вниз: 3 метра
• Вверх: 2,4 метра
• Вниз: 2,4 метра
• Итого: 3 + 2,4 + 2,4 = 7,2 метра.
4. Теперь давайте посмотрим на следующий отскок. Высота второго отскока будет 2,4 метра * 0,8 = 1,92 метра. Мяч поднимется на 1,92 метра и снова упадет на такую же высоту, пройдя еще 1,92 метра вниз.
5. Таким образом, суммарное расстояние для второго отскока будет:
• Вверх: 1,92 метра
• Вниз: 1,92 метра
• Итого: 1,92 + 1,92 = 3,84 метра.
6. Следующий отскок будет равен 1,92 метра * 0,8 = 1,536 метра, и так далее. Мы видим, что каждый раз высота отскока уменьшается, но расстояния продолжают суммироваться.

Теперь мы можем заметить, что все расстояния, пройденные мячом после первого падения, образуют геометрическую прогрессию. Первое значение (b₁) для этой прогрессии — это 4,8 метра (2,4 метра вверх + 2,4 метра вниз), а общий множитель (q) равен 0,8.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

S = b₁ / (1 - q)

Подставляя значения, получаем:

S = 4,8 / (1 - 0,8) = 4,8 / 0,2 = 24 метра.

Теперь не забудем добавить расстояние, пройденное мячом в самом начале (3 метра). В итоге:

Сумма всех расстояний, пройденных мячом вверх и вниз, составит:

3 метра + 24 метра = 27 метров.