Геометрическая прогрессия. Как можно определить b1 и Sn, если q = 1/3, n = 6, а bn = 5/81?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия определение b1 формула Sn q = 1/3 n = 6 bn = 5/81 алгебра 8 класс Новый

Для решения задачи нам нужно определить первый член геометрической прогрессии (b1) и сумму первых n членов (Sn) при заданных параметрах: знаменатель прогрессии (q) равен 1/3, количество членов (n) равно 6, а n-й член (bn) равен 5/81.

Геометрическая прогрессия определяется следующей формулой для n-го члена:

bn = b1 * q^(n-1)

Теперь подставим известные значения в эту формулу:

• bn = 5/81
• q = 1/3
• n = 6

Подставим эти значения в формулу:

5/81 = b1 * (1/3)^(6-1)

Упрощаем выражение:

5/81 = b1 * (1/3)^5

Теперь вычислим (1/3)^5:

(1/3)^5 = 1/243

Подставим это значение в уравнение:

5/81 = b1 * (1/243)

Теперь умножим обе стороны уравнения на 243, чтобы выразить b1:

b1 = (5/81) * 243

Упростим это выражение:

243 / 81 = 3, поэтому:

b1 = 5 * 3 = 15

Теперь мы нашли первый член прогрессии: b1 = 15.

Далее, чтобы найти сумму первых n членов (Sn) геометрической прогрессии, используем формулу:

Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)

Подставим известные значения:

• b1 = 15
• q = 1/3
• n = 6

Сначала найдем q^n:

(1/3)^6 = 1/729

Теперь подставим это значение в формулу для Sn:

Sn = 15 * (1 - 1/729) / (1 - 1/3)

Упростим знаменатель:

1 - 1/3 = 2/3

Теперь подставим это значение:

Sn = 15 * (1 - 1/729) / (2/3)

Упрощаем (1 - 1/729):

1 - 1/729 = 728/729

Теперь подставим это в формулу:

Sn = 15 * (728/729) / (2/3)

Умножим на обратное значение:

Sn = 15 * (728/729) * (3/2)

Сократим 15 и 2:

15 / 2 = 7.5, теперь умножим:

Sn = 7.5 * (728/729)

Теперь вычислим Sn:

Sn ≈ 7.5 * 0.99863 ≈ 7.49

Таким образом, мы получили:

• b1 = 15
• Sn ≈ 7.49

Итак, первый член прогрессии равен 15, а сумма первых 6 членов примерно равна 7.49.