Как можно доказать неравенства:

1. (x-2)² > x(x-4)
2. (a²+1) ≥ 2(3a-4)

Алгебра 8 класс Неравенства доказательство неравенств алгебра 8 класс неравенства с квадратами неравенства с переменными решение неравенств алгебраические методы сравнение выражений математическое доказательство Новый

Давайте разберем оба неравенства по отдельности и подробно объясним, как их можно доказать.

1. Неравенство: (x-2)² > x(x-4)

Для начала упростим неравенство:

1. Раскроем скобки с левой стороны:
• (x-2)² = x² - 4x + 4
2. Раскроем скобки с правой стороны:
• x(x-4) = x² - 4x
3. Теперь подставим эти выражения в неравенство:
• x² - 4x + 4 > x² - 4x
4. Упростим неравенство, вычитая x² - 4x из обеих сторон:
• 4 > 0

Это неравенство всегда верно, так как 4 всегда больше 0. Таким образом, неравенство (x-2)² > x(x-4) верно для всех значений x.

2. Неравенство: (a²+1) ≥ 2(3a-4)

Теперь перейдем ко второму неравенству:

1. Раскроем скобки с правой стороны:
• 2(3a-4) = 6a - 8
2. Подставим это в неравенство:
• a² + 1 ≥ 6a - 8
3. Переносим все члены на одну сторону, чтобы получить неравенство в стандартной форме:
• a² - 6a + 9 ≥ 0
4. Теперь заметим, что a² - 6a + 9 является квадратом двучлена:
• (a - 3)² ≥ 0

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому (a - 3)² ≥ 0 для всех a. Таким образом, неравенство (a²+1) ≥ 2(3a-4) также верно для всех значений a.

В итоге, оба неравенства доказаны и являются верными для всех значений переменных x и a соответственно.