Как можно определить b₁ геометрической прогрессии (bₙ) и номер n, если даны следующие значения:
bₙ=54,
Sₙ=242/3 (это дробь),
q=3?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия b1 номер n bₙ Sₙ q алгебра 8 класс формулы прогрессии решение задач математика Новый

Чтобы определить первый член геометрической прогрессии (b₁) и номер n, когда нам известны bₙ, Sₙ и q, мы можем воспользоваться формулами для n-го члена геометрической прогрессии и суммы первых n членов.

Давайте рассмотрим данные:

• bₙ = 54
• Sₙ = 242/3
• q = 3

1. Сначала используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии:

bₙ = b₁ * q^(n-1)

Подставим известные значения:

54 = b₁ * 3^(n-1)

2. Теперь используем формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Sₙ = b₁ * (1 - q^n) / (1 - q)

Подставим известные значения:

242/3 = b₁ * (1 - 3^n) / (1 - 3)

Это упрощается до:

242/3 = b₁ * (1 - 3^n) / (-2)

Умножаем обе стороны на -2:

-2 * (242/3) = b₁ * (1 - 3^n)

-484/3 = b₁ * (1 - 3^n)

Теперь у нас есть две уравнения:

1. 54 = b₁ * 3^(n-1)
2. -484/3 = b₁ * (1 - 3^n)

3. Из первого уравнения выразим b₁:

b₁ = 54 / 3^(n-1)

4. Подставим b₁ во второе уравнение:

-484/3 = (54 / 3^(n-1)) * (1 - 3^n)

5. Умножим обе стороны на 3^(n-1):

-484 * 3^(n-1) / 3 = 54 * (1 - 3^n)

-484 * 3^(n-2) = 54 * (1 - 3^n)

6. Теперь упрощаем и решаем это уравнение относительно n:

-484 * 3^(n-2) = 54 - 54 * 3^n

Переносим все слагаемые в одну сторону:

54 * 3^n - 484 * 3^(n-2) - 54 = 0

7. Умножим на 3^2 (чтобы избавиться от дробей):

54 * 3^(n+1) - 484 - 54 * 3^2 = 0

54 * 3^(n+1) - 54 * 9 - 484 = 0

54 * 3^(n+1) = 54 * 9 + 484

54 * 3^(n+1) = 486 + 484

54 * 3^(n+1) = 970

3^(n+1) = 970 / 54

8. Теперь найдем n. Для этого нужно решить:

3^(n+1) = 17.96

9. Приблизительно можем определить n:

n + 1 = log3(17.96) => n = log3(17.96) - 1

10. После нахождения n, подставим его обратно в выражение для b₁:

b₁ = 54 / 3^(n-1)

В результате, вы сможете найти значения b₁ и n. Если у вас есть калькулятор, вы можете использовать его для нахождения логарифмов и окончательных значений.