Как можно определить четыре числа, которые составляют геометрическую прогрессию, если сумма первого и третьего членов равна 5, а сумма второго и четвертого членов равна 10?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия четыре числа сумма членов алгебра 8 класс решение задачи математическая задача свойства прогрессии Новый

Чтобы решить задачу, давайте обозначим четыре числа геометрической прогрессии как:

• a - первый член
• ar - второй член (где r - знаменатель прогрессии)
• ar^2 - третий член
• ar^3 - четвертый член

Теперь у нас есть две условия:

1. Сумма первого и третьего членов равна 5: a + ar^2 = 5
2. Сумма второго и четвертого членов равна 10: ar + ar^3 = 10

Теперь давайте упростим каждое из этих уравнений.

Из первого уравнения:

a(1 + r^2) = 5

Из второго уравнения:

ar(1 + r^2) = 10

Теперь мы можем выразить a из первого уравнения:

a = 5 / (1 + r^2)

Подставим это значение a во второе уравнение:

(5 / (1 + r^2)) r (1 + r^2) = 10

Упрощаем уравнение:

5r = 10

Теперь делим обе стороны на 5:

r = 2

Теперь, когда мы знаем значение r, подставим его обратно, чтобы найти a:

a = 5 / (1 + 2^2) = 5 / (1 + 4) = 5 / 5 = 1

Теперь у нас есть значения:

• Первый член (a) = 1
• Второй член (ar) = 1 * 2 = 2
• Третий член (ar^2) = 1 * 2^2 = 4
• Четвертый член (ar^3) = 1 * 2^3 = 8

Таким образом, четыре числа, которые составляют геометрическую прогрессию, это:

1, 2, 4, 8

Проверим условия:

• Сумма первого и третьего: 1 + 4 = 5 (всё верно)
• Сумма второго и четвертого: 2 + 8 = 10 (всё верно)

Мы успешно нашли числа, которые составляют геометрическую прогрессию!