Как можно определить значения q и n для геометрической прогрессии, если известны: Sn=165; b1=11; bn=88?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия значения q и n Sn=165 b1=11 bn=88 алгебра 8 класс Новый

Чтобы определить значения q (знаменатель прогрессии) и n (номер последнего члена) для геометрической прогрессии, давайте воспользуемся известными формулами и данными.

У нас есть следующие данные:

• Сумма первых n членов Sn = 165
• Первый член b1 = 11
• n-й член bn = 88

Сначала вспомним формулы, которые нам понадобятся:

• Сумма первых n членов геометрической прогрессии: Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q), если q ≠ 1.
• n-й член геометрической прогрессии: bn = b1 * q^(n-1).

Теперь подставим известные значения в формулы.

1. Используем формулу для n-го члена:
• bn = b1 * q^(n-1)
• 88 = 11 * q^(n-1)
• Теперь делим обе стороны на 11:
• q^(n-1) = 88 / 11 = 8
• Таким образом, мы получили: q^(n-1) = 8.
2. Теперь используем формулу для суммы:
• Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)
• 165 = 11 * (1 - q^n) / (1 - q)
• Умножим обе стороны на (1 - q):
• 165 * (1 - q) = 11 * (1 - q^n)
• Раскроем скобки:
• 165 - 165q = 11 - 11q^n
• Переносим все элементы в одну сторону:
• 165 - 11 = 165q - 11q^n
• 154 = 165q - 11q^n
• Теперь мы можем выразить q^n через q:
• 11q^n = 165q - 154
• q^n = (165q - 154) / 11

Теперь мы имеем две системы уравнений:

• q^(n-1) = 8
• q^n = (165q - 154) / 11

Из первого уравнения мы можем выразить q:

• q = 8^(1/(n-1)).

Подставим это значение во второе уравнение:

• q^n = q * q^(n-1) = q * 8.
• (165q - 154) / 11 = 8q.
• 165q - 154 = 88q.
• 77q = 154.
• q = 2.

Теперь, зная q, подставим его обратно в уравнение для q^(n-1):

• 2^(n-1) = 8.
• 2^(n-1) = 2^3.
• n - 1 = 3.
• n = 4.

Таким образом, мы получили:

• q = 2
• n = 4

Ответ: Знаменатель прогрессии q равен 2, а количество членов n равно 4.