Как найти четвертый член возрастающей геометрической прогрессии, если сумма первого и четвертого членов равна 27, а произведение второго и третьего членов равно 72? Пожалуйста, приведите полное решение.

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия четвертый член возрастающая геометрическая прогрессия сумма членов произведение членов решение задачи алгебра 8 класс Новый

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Тогда члены прогрессии можно выразить следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: a * q
• Третий член: a * q^2
• Четвертый член: a * q^3

Теперь у нас есть две условия:

1. Сумма первого и четвертого членов равна 27:
a + a * q^3 = 27
2. Произведение второго и третьего членов равно 72:
(a * q) * (a * q^2) = 72

Теперь упростим оба уравнения. Начнем с первого уравнения:

a(1 + q^3) = 27

Теперь перейдем ко второму уравнению:

a^2 * q^3 = 72

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a(1 + q^3) = 27
2. a^2 * q^3 = 72

Из первого уравнения выразим a:

a = 27 / (1 + q^3)

Теперь подставим это значение a во второе уравнение:

(27 / (1 + q^3))^2 * q^3 = 72

Упростим это уравнение:

(729 / (1 + q^3)^2) * q^3 = 72

Умножим обе стороны на (1 + q^3)^2:

729 q^3 = 72 (1 + q^3)^2

Теперь раскроем скобки:

729 q^3 = 72 (1 + 2q^3 + q^6)

Это дает нам уравнение:

729 * q^3 = 72 + 144q^3 + 72q^6

Переносим все в одну сторону:

72q^6 - 729q^3 + 72 = 0

Теперь сделаем замену: x = q^3. Тогда уравнение примет вид:

72x^2 - 729x + 72 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-729)^2 - 4 72 72

Рассчитаем дискриминант:

D = 531441 - 20736 = 510705

Теперь найдем корни уравнения:

x = (729 ± √510705) / (2 * 72)

После вычислений мы получим два значения для x. Подставляем их обратно в q^3, чтобы найти q, а затем подставляем q в выражение для a.

После нахождения a и q мы можем найти четвертый член прогрессии:

a * q^3

Таким образом, мы можем найти четвертый член геометрической прогрессии, используя найденные значения a и q.