Как найти все значения x, при которых выражения x-4, корень квадратный из 6x и x+12 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия алгебра 8 класс значения x выражения последовательные члены Геометрическая прогрессия x-4 корень квадратный из 6x x+12 решение уравнения прогрессии математические задачи школьная математика Новый

Для того чтобы найти все значения x, при которых выражения x-4, корень квадратный из 6x и x+12 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо воспользоваться определением геометрической прогрессии.

Определение: Три числа a, b и c являются членами геометрической прогрессии, если выполняется равенство:

b^2 = a * c

В нашем случае:

• a = x - 4
• b = корень квадратный из 6x
• c = x + 12

Подставим эти выражения в формулу:

(корень квадратный из 6x)^2 = (x - 4) * (x + 12)

Упростим уравнение:

• 6x = (x - 4)(x + 12)

Теперь раскроем скобки:

• 6x = x^2 + 12x - 4x - 48
• 6x = x^2 + 8x - 48

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

• 0 = x^2 + 8x - 48 - 6x
• 0 = x^2 + 2x - 48

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 2, c = -48.

Находим дискриминант:

• D = 2^2 - 4 * 1 * (-48)
• D = 4 + 192
• D = 196

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Находим корни по формуле:

x = (-b ± корень из D) / (2a)

Подставляем значения:

• x1 = (-2 + корень из 196) / (2 * 1) = (-2 + 14) / 2 = 12 / 2 = 6
• x2 = (-2 - корень из 196) / (2 * 1) = (-2 - 14) / 2 = -16 / 2 = -8

Таким образом, мы получили два значения x: 6 и -8. Однако необходимо проверить, подходят ли эти значения под условия задачи, так как в выражении корень квадратный из 6x должно быть неотрицательное число.

Проверим x = 6:

• корень из 6 * 6 = корень из 36 = 6 (неотрицательное)

Проверим x = -8:

• корень из 6 * (-8) = корень из (-48) (не существует в действительных числах)

Таким образом, единственным подходящим значением является x = 6.

Ответ: Значение x, при котором выражения x-4, корень квадратный из 6x и x+12 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, равно 6.