Как вычислить сумму первых 5 членов геометрической прогрессии b(n), если знаменатель прогрессии составляет 2/5, а первый член b1 равен 75?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия сумма членов Геометрическая прогрессия вычисление суммы первый член знаменатель прогрессии алгебра 8 класс Новый

Чтобы вычислить сумму первых 5 членов геометрической прогрессии, нам нужно использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии. Эта формула выглядит следующим образом:

S(n) = b1 * (1 - q^n) / (1 - q),

где:

• S(n) - сумма первых n членов прогрессии,
• b1 - первый член прогрессии,
• q - знаменатель прогрессии (общий множитель),
• n - количество членов, которые мы хотим сложить.

В нашем случае:

• b1 = 75,
• q = 2/5,
• n = 5.

Теперь подставим эти значения в формулу:

S(5) = 75 * (1 - (2/5)^5) / (1 - 2/5).

Сначала вычислим знаменатель:

1 - 2/5 = 3/5.

Теперь вычислим числитель:

(2/5)^5 = 32/3125.

Теперь подставим это значение в числитель:

S(5) = 75 * (1 - 32/3125) / (3/5).

Чтобы упростить, сначала найдем 1 - 32/3125:

1 = 3125/3125,

3125/3125 - 32/3125 = (3125 - 32)/3125 = 3093/3125.

Теперь подставим это в формулу:

S(5) = 75 * (3093/3125) / (3/5).

Умножим на обратное значение знаменателя:

S(5) = 75 * (3093/3125) * (5/3).

Теперь упростим это выражение:

S(5) = (75 * 5 * 3093) / (3 * 3125).

Вычисляем числитель:

75 * 5 = 375,

375 * 3093 = 1150785.

Теперь вычислим знаменатель:

3 * 3125 = 9375.

Теперь у нас есть:

S(5) = 1150785 / 9375.

Выполнив деление, мы получим:

S(5) ≈ 122.5.

Таким образом, сумма первых 5 членов геометрической прогрессии составляет примерно 122.5.