Какова сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии, если сумма шести первых членов равна 1820, а знаменатель прогрессии равен 3?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия сумма членов первый член пятый член сумма шести членов знаменатель прогрессии задача математика Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть геометрическая прогрессия, где сумма первых шести членов равна 1820, а знаменатель прогрессии (q) равен 3. Мы хотим найти сумму первого (b₁) и пятого (b₅) членов этой прогрессии.

1. Используем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Формула выглядит следующим образом:

Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q),

где Sₙ – сумма первых n членов, b₁ – первый член, q – знаменатель прогрессии, n – количество членов.

2. Подставляем известные значения:

В нашем случае n = 6, S₆ = 1820, q = 3. Подставим их в формулу:

1820 = b₁ * (1 - 3⁶) / (1 - 3).

3. Вычисляем 3⁶:

3⁶ = 729, следовательно:

1820 = b₁ * (1 - 729) / (1 - 3) = b₁ * (-728) / (-2).

4. Упрощаем уравнение:

Теперь упростим уравнение:

1820 = b₁ * 364.

5. Находим первый член прогрессии (b₁):

Теперь делим обе стороны на 364:

b₁ = 1820 / 364 = 5.

6. Теперь найдем пятый член (b₅):

Пятый член геометрической прогрессии можно найти по формуле:

b₅ = b₁ * q^(5-1) = b₁ * q⁴.

Подставим найденные значения:

b₅ = 5 * 3⁴.

7. Вычисляем 3⁴:

3⁴ = 81, следовательно:

b₅ = 5 * 81 = 405.

8. Теперь находим сумму первого и пятого членов:

Сумма b₁ и b₅ будет равна:

b₁ + b₅ = 5 + 405 = 410.

Итак, сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 410.