Похожие вопросы
2024-11-17 08:24:09
Какова сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии, если сумма шести первых членов равна 1820, а знаменатель прогрессии равен 3?
Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия сумма членов первый член пятый член сумма шести членов знаменатель прогрессии задача математика
2024-11-17 08:24:09
Давайте решим задачу шаг за шагом.
У нас есть геометрическая прогрессия, где сумма первых шести членов равна 1820, а знаменатель прогрессии (q) равен 3. Мы хотим найти сумму первого (b₁) и пятого (b₅) членов этой прогрессии.
- Используем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:
- Подставляем известные значения:
- Вычисляем 3⁶:
- Упрощаем уравнение:
- Находим первый член прогрессии (b₁):
- Теперь найдем пятый член (b₅):
- Вычисляем 3⁴:
- Теперь находим сумму первого и пятого членов:
Формула выглядит следующим образом:
Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q),
где Sₙ – сумма первых n членов, b₁ – первый член, q – знаменатель прогрессии, n – количество членов.
В нашем случае n = 6, S₆ = 1820, q = 3. Подставим их в формулу:
1820 = b₁ * (1 - 3⁶) / (1 - 3).
3⁶ = 729, следовательно:
1820 = b₁ * (1 - 729) / (1 - 3) = b₁ * (-728) / (-2).
Теперь упростим уравнение:
1820 = b₁ * 364.
Теперь делим обе стороны на 364:
b₁ = 1820 / 364 = 5.
Пятый член геометрической прогрессии можно найти по формуле:
b₅ = b₁ * q^(5-1) = b₁ * q⁴.
Подставим найденные значения:
b₅ = 5 * 3⁴.
3⁴ = 81, следовательно:
b₅ = 5 * 81 = 405.
Сумма b₁ и b₅ будет равна:
b₁ + b₅ = 5 + 405 = 410.
Итак, сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 410.
