Какова сумма первых пяти членов геометрической прогрессии, если третий член равен 3, а пятый член равен 27?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия сумма первых пяти членов Геометрическая прогрессия третий член равен 3 пятый член равен 27 Новый

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, нам нужно сначала определить первый член и знаменатель прогрессии. У нас есть информация о третьем и пятом членах прогрессии:

• Третий член (a3) равен 3.
• Пятый член (a5) равен 27.

Геометрическая прогрессия определяется формулой:

an = a1 * r^(n-1)

где:

• a1 - первый член прогрессии,
• r - знаменатель прогрессии,
• n - номер члена.

Теперь запишем уравнения для третьего и пятого членов:

• Для третьего члена: a3 = a1 * r^(3-1) = a1 * r^2
• Для пятого члена: a5 = a1 * r^(5-1) = a1 * r^4

Подставим известные значения:

• a1 * r^2 = 3 (1)
• a1 * r^4 = 27 (2)

Теперь мы можем выразить a1 через r из первого уравнения (1):

a1 = 3 / r^2

Подставим это выражение для a1 во второе уравнение (2):

(3 / r^2) * r^4 = 27

Упростим это уравнение:

3 * r^2 = 27

Теперь разделим обе стороны на 3:

r^2 = 9

Теперь найдем r, взяв квадратный корень:

r = 3 или r = -3

Теперь подставим значение r обратно в уравнение для a1. Начнем с r = 3:

a1 = 3 / (3^2) = 3 / 9 = 1/3

Теперь найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии:

Сумма первых n членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

S_n = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) (для r ≠ 1)

Подставим наши значения (a1 = 1/3, r = 3, n = 5):

S_5 = (1/3) * (1 - 3^5) / (1 - 3)

Вычислим r^5:

3^5 = 243

Теперь подставим это значение:

S_5 = (1/3) * (1 - 243) / (1 - 3)

S_5 = (1/3) * (-242) / (-2)

Упростим:

S_5 = (1/3) * 121 = 121/3

Теперь, если мы хотим получить конечный ответ, можем выразить это в виде десятичной дроби:

S_5 = 40.33

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии, если третий член равен 3, а пятый член равен 27, составляет 40.33.