Квадратный пруд медленно пересыхает из-за жаркого лета. Каждый день уровень воды снижается, обнажая землю на расстоянии 10 метров от края или меньше. В первый день уровень воды отступает от кромки на 10 метров, во второй день на 20 метров, в третий день на 30 метров и так далее. Известно, что после первых суток площадь оставшейся воды уменьшилась на 19%. Через сколько дней весь пруд высохнет?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия алгебра 8 класс задачи на проценты уровень воды квадратный пруд площадь воды уменьшение площади математическая задача решение задач алгебраические уравнения дни высыхания пруда Новый

Для решения задачи давайте сначала разберемся с тем, как изменяется площадь оставшейся воды в пруду.

Предположим, что длина стороны квадратного пруда равна S метров. Тогда площадь пруда P равна S * S = S^2 квадратных метров.

Каждый день уровень воды отступает от края на определенное расстояние, которое увеличивается на 10 метров каждый день. В первый день уровень воды отступает на 10 метров, во второй день на 20 метров, в третий день на 30 метров и так далее.

Теперь давайте найдем, как изменяется площадь оставшейся воды после каждого дня:

• В первый день уровень воды отступает на 10 метров с каждой стороны, поэтому оставшаяся площадь воды будет:
• Оставшаяся сторона = S - 2 * 10 = S - 20 метров.
• Оставшаяся площадь = (S - 20) * (S - 20) = (S - 20)^2.
• Согласно условию, площадь оставшейся воды уменьшилась на 19%, значит:
• (S - 20)^2 = S^2 * (1 - 0.19) = S^2 * 0.81.

Теперь можем упростить это уравнение:

• (S - 20)^2 = 0.81 * S^2.
• Раскроем скобки:
• S^2 - 40S + 400 = 0.81S^2.
• Переносим все в одну сторону:
• S^2 - 0.81S^2 - 40S + 400 = 0.
• 0.19S^2 - 40S + 400 = 0.
• Умножим уравнение на 100, чтобы избавиться от дробей:
• 19S^2 - 4000S + 40000 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-4000)^2 - 4 * 19 * 40000.
• D = 16000000 - 3040000 = 12960000.

Теперь находим корни уравнения:

• S = (4000 ± √12960000) / (2 * 19).
• √12960000 = 3600, тогда:
• S = (4000 ± 3600) / 38.

Находим два значения для S:

• S1 = (4000 + 3600) / 38 = 210 метров (положительное значение).
• S2 = (4000 - 3600) / 38 = 10.526 метров (не рассматриваем, так как это не может быть стороной пруда).

Теперь, когда мы знаем, что сторона пруда S равна 210 метров, можем найти, через сколько дней пруд высохнет.

Каждый день уровень воды отступает на 10 метров больше, чем в предыдущий день:

• 1 день: 10 метров
• 2 день: 20 метров
• 3 день: 30 метров
• ... и так далее.

Каждый день уровень воды отступает на n * 10 метров, где n — номер дня. Мы ищем n, при котором:

10 + 20 + 30 + ... + 10n = S.

Это можно записать как:

10(1 + 2 + ... + n) = S.

Сумма первых n натуральных чисел равна n(n + 1) / 2, следовательно:

10 * n(n + 1) / 2 = 210.

Упрощаем уравнение:

n(n + 1) = 42.

Решим это уравнение:

• n^2 + n - 42 = 0.
• Находим дискриминант:
• D = 1 + 4 * 42 = 169.
• Корни: n = (-1 ± 13) / 2.

Получаем два значения:

• n1 = 6 (положительное значение)
• n2 = -7 (отрицательное значение, не рассматриваем).

Таким образом, пруд высохнет через 6 дней.

Ответ: Пруд высохнет через 6 дней.