Помогите с геометрической прогрессией, срочно!

1. Сумма первых 100 членов некоторой геометрической прогрессии в 5 раз больше суммы квадратов первых 50 членов этой же прогрессии. Какой знаменатель прогрессии, если второй ее член равен 18?
2. Какова сумма шести первых членов геометрической прогрессии, если ее пятый член равен 3/4, а знаменатель равен 2?
3. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии со знаменателем q=1,5 равна 65. Каков первый член прогрессии?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма членов прогрессии знаменатель прогрессии первый член прогрессии алгебра 8 класс Новый

Давайте разберем каждый из ваших вопросов по очереди.

1. Сумма первых 100 членов геометрической прогрессии в 5 раз больше суммы квадратов первых 50 членов, второй член равен 18.

Обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель как q. Из условия мы знаем, что второй член равен 18, то есть:

• a * q = 18.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

• S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q), при q ≠ 1.

Таким образом, сумма первых 100 членов будет:

• S_100 = a * (1 - q^100) / (1 - q).

Сумма квадратов первых n членов геометрической прогрессии можно выразить так:

• S^2_n = a^2 * (1 - q^(2n)) / (1 - q^2).

Тогда сумма квадратов первых 50 членов будет:

• S^2_50 = a^2 * (1 - q^100) / (1 - q^2).

По условию задачи мы имеем:

• S_100 = 5 * S^2_50.

Подставим выражения для сумм:

• a * (1 - q^100) / (1 - q) = 5 * (a^2 * (1 - q^100) / (1 - q^2)).

Теперь упростим это уравнение. Сначала можем сократить (1 - q^100) с обеих сторон, если q не равно 1:

• a / (1 - q) = 5 * (a^2 / (1 - q^2)).

Умножим обе стороны на (1 - q)(1 - q^2):

• a(1 - q^2) = 5a^2(1 - q).

Теперь подставим a из первого уравнения (a = 18/q):

• (18/q)(1 - q^2) = 5(18/q)^2(1 - q).

Решив это уравнение, мы сможем найти значение q.

2. Сумма шести первых членов прогрессии, если пятый член равен 3/4, а знаменатель равен 2.

Пятый член геометрической прогрессии можно выразить как:

• a * q^4 = 3/4.

Здесь q = 2. Подставим значение q:

• a * 2^4 = 3/4.

Это уравнение можно упростить:

• a * 16 = 3/4.

Теперь найдем a:

• a = (3/4) / 16 = 3/64.

Теперь найдем сумму первых шести членов:

• S_6 = a * (1 - q^6) / (1 - q).

Подставим значения a и q:

• S_6 = (3/64) * (1 - 2^6) / (1 - 2) = (3/64) * (1 - 64) / (-1) = (3/64) * (-63) / (-1) = (3/64) * 63 = 189/64.

3. Сумма первых четырех членов прогрессии со знаменателем q=1,5 равна 65. Каков первый член прогрессии?

Сумма первых n членов геометрической прогрессии:

• S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q).

Для первых четырех членов:

• S_4 = a * (1 - (1.5)^4) / (1 - 1.5).

Сначала найдем (1.5)^4:

• (1.5)^4 = 5.0625.

Теперь подставим в формулу суммы:

• 65 = a * (1 - 5.0625) / (-0.5).

Упрощаем:

• 65 = a * (-4.0625) / (-0.5).

Умножим обе стороны на -0.5:

• -32.5 = a * (-4.0625).

Теперь найдем a:

• a = -32.5 / -4.0625 = 8.

Таким образом, первый член прогрессии равен 8.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!