В геометрической прогрессии, если b2 - b1 = 6 и b4 - b1 = 42, как можно определить значения b1 и q?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия b1 b2 b4 q разность уравнение алгебра 8 класс решение задачи математические выражения Новый

Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом. У нас есть геометрическая прогрессия, где:

• b1 - первый член прогрессии;
• q - знаменатель прогрессии;
• b2 - второй член прогрессии;
• b4 - четвертый член прогрессии.

Члены геометрической прогрессии можно выразить через первый член и знаменатель:

• b2 = b1 * q;
• b4 = b1 * q^3.

Теперь мы можем использовать данные условия:

1. Из условия b2 - b1 = 6, подставим b2:
• b1 * q - b1 = 6;
• b1 (q - 1) = 6. (1)
2. Из условия b4 - b1 = 42, подставим b4:
• b1 * q^3 - b1 = 42;
• b1 (q^3 - 1) = 42. (2)

Теперь у нас есть две уравнения (1) и (2). Мы можем выразить b1 из первого уравнения:

b1 = 6 / (q - 1).

Подставим это выражение для b1 во второе уравнение:

(6 / (q - 1)) * (q^3 - 1) = 42.

Умножим обе стороны на (q - 1), чтобы избавиться от дроби:

6 * (q^3 - 1) = 42 * (q - 1).

Теперь упростим это уравнение:

6q^3 - 6 = 42q - 42.

Переносим все в одну сторону:

6q^3 - 42q + 36 = 0.

Теперь упростим это уравнение, разделив его на 6:

q^3 - 7q + 6 = 0.

Теперь мы можем попытаться найти корни этого кубического уравнения. Для этого можно попробовать подставить некоторые значения q:

• Если q = 1: 1 - 7 + 6 = 0 (корень);
• Если q = 2: 8 - 14 + 6 = 0 (корень);
• Если q = 3: 27 - 21 + 6 = 12 (не корень);

Мы нашли два корня: q = 1 и q = 2. Однако, q = 1 не подходит, так как в этом случае прогрессия не будет геометрической (все члены будут равны). Поэтому, принимаем q = 2.

Теперь подставим q = 2 обратно в уравнение для b1:

b1 = 6 / (2 - 1) = 6.

Таким образом, мы нашли значения:

• b1 = 6;
• q = 2.

Итак, ответ: b1 = 6 и q = 2.