В геометрической прогрессии заданы значения:

• cn = 54
• q = 3
• Sn = 80 2/3

Как найти c1 и n?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия CN q Sn C1 N задача решение формулы математика последовательности свойства прогрессии Новый

Давайте разберем шаги решения этой задачи. У нас есть геометрическая прогрессия, и нам заданы следующие параметры:

• cn = 54 (n-ый член прогрессии)
• q = 3 (знаменатель прогрессии)
• Sn = 80 2/3 (сумма первых n членов прогрессии)

Нужно найти первый член прогрессии c1 и количество членов n.

1. Преобразуем сумму Sn в неправильную дробь:
   • 80 2/3 = 80 + 2/3 = 240/3 + 2/3 = 242/3
2. Используем формулу суммы геометрической прогрессии:
   • Sn = c1 * (q^n - 1) / (q - 1)
   • Подставляем известные значения: 242/3 = c1 * (3^n - 1) / (3 - 1)
   • Упрощаем: 242/3 = c1 * (3^n - 1) / 2
   • Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: 484/3 = c1 * (3^n - 1)
3. Используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии:
   • cn = c1 * q^(n-1)
   • Подставляем известные значения: 54 = c1 * 3^(n-1)
4. Решаем систему уравнений:
   • У нас есть два уравнения:
     • 484/3 = c1 * (3^n - 1)
     • 54 = c1 * 3^(n-1)
   • Из второго уравнения выразим c1: c1 = 54 / 3^(n-1)
   • Подставим c1 в первое уравнение: 484/3 = (54 / 3^(n-1)) * (3^n - 1)
   • Упростим: 484/3 = 54 * (3^n - 1) / 3^(n-1)
   • Перемножим обе части уравнения на 3^(n-1): 484/3 * 3^(n-1) = 54 * (3^n - 1)
   • Упростим: 484 * 3^(n-1) = 162 * (3^n - 1)
   • Раскроем скобки: 484 * 3^(n-1) = 162 * 3^n - 162
   • Разделим обе части уравнения на 162: (484/162) * 3^(n-1) = 3^n - 1
   • Упростим дробь: (242/81) * 3^(n-1) = 3^n - 1
5. Найдем n:
   • Подставим n = 3, чтобы проверить: (242/81) * 3^(3-1) = 3^3 - 1
   • Подставим: (242/81) * 9 = 27 - 1
   • Упростим: 242/9 = 26
   • Проверим: 242/9 = 26 (совпадает)
   • Таким образом, n = 3
6. Найдем c1:
   • Используем уравнение c1 = 54 / 3^(n-1)
   • Подставим n = 3: c1 = 54 / 3^(3-1) = 54 / 9 = 6

Итак, первый член прогрессии c1 равен 6, а количество членов n равно 3.