В третьем члене геометрической прогрессии значение равно √3. Какое произведение первых пяти членов этой прогрессии?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия третий член значение √3 произведение пяти членов алгебра 8 класс Новый

Чтобы найти произведение первых пяти членов геометрической прогрессии, нам нужно сначала определить, что такое геометрическая прогрессия и как она устроена.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его q). Обозначим первый член прогрессии как a. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:

• 1-й член: a
• 2-й член: a * q
• 3-й член: a * q²
• 4-й член: a * q³
• 5-й член: a * q⁴

В условии задачи сказано, что третий член прогрессии равен √3. Это означает, что:

a * q² = √3

Теперь, чтобы найти произведение первых пяти членов, мы можем воспользоваться формулой для произведения членов геометрической прогрессии:

P = a * (a * q) * (a * q²) * (a * q³) * (a * q⁴)

Это можно упростить:

P = a^5 * (q^0 * q^1 * q^2 * q^3 * q^4) = a^5 * q^{0+1+2+3+4} = a^5 * q^{10}

Теперь нам нужно выразить P через известное значение третьего члена. Мы знаем, что a * q² = √3, и можем выразить a через q:

a = √3 / q²

Теперь подставим это значение в формулу для произведения:

P = (√3 / q²)^5 * q^{10}

Теперь упростим это выражение:

P = (√3)^5 / (q^{10}) * q^{10}

Так как q^{10} в числителе и знаменателе сокращается, то:

P = (√3)^5

Теперь вычислим (√3)^5:

(√3)^5 = (√3)^4 * √3 = 3^2 * √3 = 9√3

Таким образом, произведение первых пяти членов данной геометрической прогрессии равно 9√3.