Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, начнем с того, что знаем о суммах первых двух и трех членов:

• Сумма первых двух членов: S2 = b1 + b2 = 9
• Сумма первых трех членов: S3 = b1 + b2 + b3 = 21

Обозначим первый член прогрессии как b1, а второй член как b2. В геометрической прогрессии второй член можно выразить через первый член и общее отношение прогрессии (r):

• b2 = b1 * r

Теперь подставим b2 в уравнение для S2:

• b1 + b1 * r = 9

Это можно упростить:

• b1 * (1 + r) = 9

Теперь рассмотрим сумму первых трех членов S3:

• S3 = b1 + b2 + b3 = b1 + b1 * r + b1 * r^2 = 21

Подставим b2 и b3:

• b1 + b1 * r + b1 * r^2 = 21

Это также можно упростить:

• b1 * (1 + r + r^2) = 21

Теперь у нас есть два уравнения:

1. b1 * (1 + r) = 9
2. b1 * (1 + r + r^2) = 21

Теперь мы можем выразить b1 из первого уравнения:

• b1 = 9 / (1 + r)

Подставим это значение b1 во второе уравнение:

• (9 / (1 + r)) * (1 + r + r^2) = 21

Умножим обе стороны на (1 + r):

• 9 * (1 + r + r^2) = 21 * (1 + r)

Раскроем скобки:

• 9 + 9r + 9r^2 = 21 + 21r

Теперь соберем все члены в одну сторону:

• 9r^2 - 12r - 12 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 9 * (-12) = 144 + 432 = 576

Теперь найдем корни уравнения:

• r = (12 ± √576) / (2 * 9) = (12 ± 24) / 18

Это дает нам два значения для r:

• r1 = 2, r2 = -2/3 (отрицательное значение не подходит, так как прогрессия возрастающая)

Теперь подставим r = 2 в уравнение для b1:

• b1 = 9 / (1 + 2) = 9 / 3 = 3

Теперь мы можем найти остальные члены прогрессии:

• b2 = b1 * r = 3 * 2 = 6
• b3 = b2 * r = 6 * 2 = 12
• b4 = b3 * r = 12 * 2 = 24
• b5 = b4 * r = 24 * 2 = 48
• b6 = b5 * r = 48 * 2 = 96

Теперь можем найти сумму первых шести членов S6:

• S6 = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + b6 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96

Сложим все значения:

• S6 = 3 + 6 = 9
• S6 = 9 + 12 = 21
• S6 = 21 + 24 = 45
• S6 = 45 + 48 = 93
• S6 = 93 + 96 = 189

Таким образом, сумма первых шести членов прогрессии S6 равна 189.