Все члены геометрической прогрессии (tn) являются положительными числами. Известно, что сумма первых четырех членов прогрессии составляет 105, а также t1 + t3 = 35. Каков знаменатель этой прогрессии?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма членов алгебра 8 класс положительные числа знаменатель прогрессии Новый

Для решения задачи начнем с определения формул для членов геометрической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как t1, а знаменатель прогрессии как q. Тогда первые четыре члена прогрессии можно записать так:

• t1 = a
• t2 = a * q
• t3 = a * q^2
• t4 = a * q^3

Согласно условию задачи, сумма первых четырех членов прогрессии равна 105:

Сумма:

t1 + t2 + t3 + t4 = a + a*q + a*q^2 + a*q^3 = 105

Также известно, что t1 + t3 = 35:

t1 + t3 = a + a*q^2 = 35

Теперь у нас есть две уравнения:

1. a + a*q + a*q^2 + a*q^3 = 105
2. a + a*q^2 = 35

Из второго уравнения выразим a:

a(1 + q^2) = 35

a = 35 / (1 + q^2)

Теперь подставим значение a в первое уравнение:

(35 / (1 + q^2)) + (35 / (1 + q^2)) * q + (35 / (1 + q^2)) * q^2 + (35 / (1 + q^2)) * q^3 = 105

Упростим это уравнение:

35 / (1 + q^2) * (1 + q + q^2 + q^3) = 105

Умножим обе стороны на (1 + q^2):

35 * (1 + q + q^2 + q^3) = 105 * (1 + q^2)

Теперь упростим уравнение:

35 + 35q + 35q^2 + 35q^3 = 105 + 105q^2

Переносим все члены в одну сторону:

35q^3 + 35q - 70q^2 - 70 = 0

Упрощаем уравнение:

35q^3 - 70q^2 + 35q - 70 = 0

Разделим все члены на 35:

q^3 - 2q^2 + q - 2 = 0

Теперь попытаемся найти корни этого уравнения. Проверим, например, q = 2:

2^3 - 2 * 2^2 + 2 - 2 = 8 - 8 + 2 - 2 = 0

Итак, q = 2 является корнем. Теперь можем разложить многочлен:

(q - 2)(q^2 + 0q + 1) = 0

Второй множитель q^2 + 1 не имеет действительных корней, так как дискриминант равен -4. Таким образом, единственный положительный корень:

Знаменатель прогрессии q равен 2.