В таблице n x n записаны натуральные числа (возможно, с повторами), и суммы чисел в каждом квадрате 2х2 различны. Если разница между самым большим и самым маленьким числом в таблице составляет 2024, как можно доказать, что n не больше 90?

Алгебра 9 класс Комбинаторика алгебра 9 класс задача на доказательство квадратная таблица суммы чисел 2х2 разница чисел максимальное число минимальное число ограничение n натуральные числа комбинаторика Новый

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим свойства квадратов 2х2 и их сумм в таблице n x n.

Шаг 1: Определение количества квадратов 2х2

• В таблице n x n можно выделить (n - 1) x (n - 1) квадратов 2х2. Это происходит потому, что для каждого квадрата 2х2 требуется, чтобы его верхний левый угол находился в пределах от (1,1) до (n-1,n-1).

Шаг 2: Условия задачи

• Суммы чисел в каждом квадрате 2х2 различны, а значит, общее количество различных сумм квадратов 2х2 не может превышать количество самих квадратов.
• Таким образом, количество различных сумм (которое равно (n - 1) x (n - 1)) должно быть меньше или равно количеству различных значений, которые могут принимать эти суммы.

Шаг 3: Максимальная сумма квадратов 2х2

• Пусть минимальное число в таблице равно a, а максимальное число равно b. Тогда разница между ними составляет 2024, то есть b - a = 2024.
• Сумма чисел в квадрате 2х2 может быть выражена как S = x1 + x2 + x3 + x4, где x1, x2, x3 и x4 - это числа, находящиеся в квадрате 2х2.
• Минимальная сумма Smin будет равна 4a, а максимальная сумма Smax будет равна 4b.
• Таким образом, Smax - Smin = 4b - 4a = 4(b - a) = 4 * 2024 = 8096.

Шаг 4: Количество возможных сумм

• Суммы, которые могут принимать квадраты 2х2, могут варьироваться от 4a до 4b, то есть от 4a до 4(a + 2024).
• Таким образом, общее количество различных сумм S будет равно:
• (4b - 4a) + 1 = 8096 + 1 = 8097.

Шаг 5: Ограничение на n

• Поскольку количество различных квадратов 2х2 равно (n - 1) x (n - 1), мы имеем неравенство:
• (n - 1) x (n - 1) ≤ 8097.
• Решая это неравенство, получаем:

Шаг 6: Решение неравенства

• n - 1 ≤ √8097.
• n ≤ √8097 + 1.
• Приблизительно √8097 ≈ 89.94, следовательно n ≤ 90.94.
• Поскольку n - это натуральное число, то n ≤ 90.

Таким образом, мы доказали, что n не может превышать 90. Это и есть ответ на задачу.