Найдите предел lim (√(x + 4) − 3) / (x² − 25), x -> 5

Другие предметы Колледж Пределы функций предел математический анализ колледж лимит функции пределы вычисление пределов алгебраические выражения предельные значения Новый

Чтобы найти предел lim (√(x + 4) − 3) / (x² − 25) при x → 5, сначала подставим значение x = 5 в выражение.

• В числителе: √(5 + 4) − 3 = √9 − 3 = 3 − 3 = 0.
• В знаменателе: 5² − 25 = 25 − 25 = 0.

Мы получили неопределенность вида 0/0, поэтому необходимо применить другие методы для нахождения предела. В данном случае мы можем использовать рационализацию числителя.

Рассмотрим выражение:

(√(x + 4) − 3) можно умножить и разделить на сопряженное выражение (√(x + 4) + 3). Таким образом, мы получим:

lim (√(x + 4) − 3) / (x² − 25) = lim [(√(x + 4) − 3)(√(x + 4) + 3)] / [(x² − 25)(√(x + 4) + 3)].

Теперь упростим числитель:

• √(x + 4) − 3)(√(x + 4) + 3) = (x + 4) − 9 = x − 5.

Теперь подставим это обратно в предел:

lim (x − 5) / [(x² − 25)(√(x + 4) + 3)].

Заменим x² − 25 на (x − 5)(x + 5):

lim (x − 5) / [(x − 5)(x + 5)(√(x + 4) + 3)].

Теперь можем сократить (x − 5) в числителе и знаменателе:

lim 1 / [(x + 5)(√(x + 4) + 3)].

Теперь подставим x = 5:

• В числителе: 1.
• В знаменателе: (5 + 5)(√(5 + 4) + 3) = 10(3 + 3) = 10 * 6 = 60.

Таким образом, предел равен:

1 / 60.

Ответ: 1/60.