Чтобы найти предел lim (arctg(x) / x) при x стремящемся к 0, давайте рассмотрим этот предел более подробно.

1. Сначала мы можем заметить, что при x = 0 функция arctg(x) равна 0, и сам x тоже равен 0. Таким образом, мы имеем неопределенность вида 0/0. Это означает, что мы можем применить правило Лопиталя, которое гласит, что если предел функции имеет вид 0/0 или ∞/∞, то мы можем взять производные числителя и знаменателя.

2. Найдем производные:

• Числитель: производная arctg(x) равна 1 / (1 + x^2).
• Знаменатель: производная x равна 1.

3. Теперь применим правило Лопиталя:

lim (arctg(x) / x) = lim (1 / (1 + x^2)) при x стремящемся к 0.

4. Подставим x = 0 в полученное выражение:

1 / (1 + 0^2) = 1 / 1 = 1.

Таким образом, предел lim (arctg(x) / x) при x стремящемся к 0 равен 1.

Ответ: 1