Решите задачу:

17 участников команды "Комета" набрали 125 баллов. Докажите, что какие-то двое из них набрали равное количество баллов! Помогите пожалуйста!

Математика 10 класс Комбинаторика математика 10 класс задача на доказательство участники команды равное количество баллов комета теорема о pigeonhole комбинаторика решение задачи баллы участников доказательство школьная математика Новый

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться принципом Дирихле, который гласит, что если у нас есть больше объектов, чем ящиков, в которые мы можем их разместить, то по крайней мере один ящик будет содержать более одного объекта.

В нашем случае у нас есть 17 участников команды "Комета", и они набрали в общей сложности 125 баллов. Теперь давайте представим, что каждый из участников может набрать определенное количество баллов. Предположим, что минимальная оценка, которую может получить участник, равна 0 баллов, а максимальная оценка, которую может набрать участник, зависит от общего количества баллов.

Чтобы понять, сколько разных оценок могут быть у участников, давайте сделаем следующее:

• Предположим, что максимальное количество баллов, которое может набрать один участник, - это 125.
• Теперь рассмотрим возможные оценки: от 0 до 125. Это дает нам 126 возможных различных баллов (0, 1, 2, ..., 125).

Однако, у нас всего 17 участников. Если бы каждый участник набрал уникальное количество баллов, то им понадобилось бы 17 уникальных значений. Но у нас имеется 126 возможных значений, что значительно превышает количество участников.

Теперь, чтобы доказать, что хотя бы два участника набрали одинаковое количество баллов, давайте представим, что каждый из 17 участников набрал разные баллы. В таком случае, минимально возможные баллы, которые они могут набрать, будут 0, 1, 2, ..., 16, что в сумме дает:

1. 0 + 1 + 2 + ... + 16 = (16 * (16 + 1)) / 2 = 136

Таким образом, сумма минимальных уникальных баллов для 17 участников равна 136. Эта сумма превышает 125. Это означает, что невозможно распределить 125 баллов среди 17 участников так, чтобы у всех были разные оценки.

Следовательно, по принципу Дирихле, мы можем заключить, что хотя бы двое участников команды "Комета" набрали одинаковое количество баллов.

Итак, мы доказали, что среди 17 участников, которые в сумме набрали 125 баллов, обязательно найдутся хотя бы двое, у которых количество набранных баллов совпадает.