В математической олимпиаде участвовало несколько школьников. Каждый из школьников имел ровно 19 друзей среди других участников. Через час после начала олимпиады один из участников Олесь и все его 19 друзей сдали свои работы и ушли. Оказалось, что каждый из оставшихся школьников имеет ровно 17 друзей среди тех, кто продолжил писать олимпиаду. Какое самое большое количество школьников могло остаться на олимпиаде?

Математика 11 класс Комбинаторика математическая олимпиада школьники друзья Олесь количество школьников задачи по математике комбинаторика графы дружеские связи олимпиадная математика Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначим общее количество участников олимпиады как N. Из условия задачи мы знаем, что у каждого из N школьников по 19 друзей. Это означает, что каждый участник связан с 19 другими участниками.

2. Когда Олесь и его 19 друзей покинули олимпиаду, то количество оставшихся участников стало:

• N - 20

3. По условию задачи, после того как Олесь и его друзья ушли, каждый из оставшихся участников имеет 17 друзей среди тех, кто остался. Это означает, что каждый из оставшихся участников был другом Олеси и его 19 друзей, и у них стало по 17 связей с другими участниками, которые остались.

4. Теперь давайте проанализируем, сколько всего дружеских связей было изначально и сколько осталось после ухода Олеси и ее друзей.

5. Изначально у нас есть N участников, и каждый из них имел 19 друзей, что означает, что общее количество дружеских связей можно выразить как:

• 19 * N / 2

(мы делим на 2, чтобы не считать каждую связь дважды).

6. После ухода Олеси и ее друзей, у нас осталось N - 20 участников, и у каждого из них 17 друзей. Общее количество дружеских связей среди оставшихся участников будет:

• 17 * (N - 20) / 2

7. Поскольку после ухода Олеси и ее друзей количество дружеских связей должно остаться равным, мы можем установить равенство:

• 19 * N / 2 = 17 * (N - 20) / 2

8. Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

• 19N = 17(N - 20)

9. Раскроем скобки:

• 19N = 17N - 340

10. Переносим все члены с N в одну сторону:

• 19N - 17N = -340

11. Упрощаем:

• 2N = 340

12. Делим обе стороны на 2:

• N = 170

13. Теперь мы знаем, что изначально в олимпиаде участвовало 170 школьников. После того как Олесь и 19 его друзей ушли, осталось:

• N - 20 = 170 - 20 = 150

Таким образом, самое большое количество школьников, которое могло остаться на олимпиаде, составляет 150.